湖北省2023年普通高中学业水平选择性考试（信息卷）数学试题及答案

1、数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（原创）1已知集合，若，则（）ABCD（原创）2已知a，则（）A5BC3D（改编）3某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（）ABCD4十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于120时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，且，

2、若点P为的费马点，则( ).A-3B-4C-5D-65在正方形中，动点从点出发，经过，到达，则的取值范围是（）ABCD6据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那么这两个数的和不小于9的概率为ABCD7如图，在梯形ABCD中，将ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（）A8B4CD28. 若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（改编）9已知函数的部分图像如图所示，则（）AB的图像关于点对称C的图像关于直线对称D函数为偶函数（改编）10下列命题中正确是（）A中位数就是第50百分位数B已知随机变量X，若，则C已知随机变量，且函数为偶函数，则D已知采用分层抽样得到的高三

3、年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为11已知函数是定义在上的可导函数，当时，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（）A-1B0C1D212在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，则（）A双曲线的离心率为B双曲线的标准方程为C点M到两条渐近线的距离之积为D若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（改编）13已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：_.（不能写成分段数列的形式）（原创）14已知，函数都满足，又，则_15如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.16已知抛物线与圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，其中，在第一象限，在第四象限，则最小值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10分）在数列中，.(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，

4、求数列的前项和.18（12分）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若的面积为，点D为边BC的中点，求AD的长19（12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，梯形底面，.设为的中点.(1)求证：平面；(2)上是否存在一点，使得与平面所成角余弦为，请说明理由.20（12分）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备有关联？（单位：箱）是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新旧合计(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品

5、，以（2）中确定的作为的值已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中21（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与轴交于点，过作直线交于两点，交于两点.已知直线交于点，直线交于点.试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.22（12分）已知函数(1)当时，求的零点个数；(2)若恒成立，求实数a的值数学参考答案123456789101112ADBDBACCABCACDABACD13（答案不唯一） （5分）14（5分）15（5分）16（5分）17（1），当时，（3分）数列是首项为，公比为的等比数列，；（5分）（2）数列的前项和（8分）（10分）18（1）因为，所以由正弦定理可得，即（3分）由余弦定理可得，又，所以（5分）（2）因为，所以，（7分）即，又，则，所以（8分）所以，所以，（10分

6、）所以在ACD中，由余弦定理可得，即（12分）19（1）证明：取的中点，连接，则共面又，所以；由底面是菱形，所以为正三角形，所以，（3分）又，平面，所以平面，又，所以，所以平面. （5分）（2）因为平面平面平面，平面平面，所以平面，（6分）则以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，（7分）所以，设，则，（8分）设平面法向量,由，则，则,（9分）所以，（11分）整理得，由，所以方程无实数根，故不存在这样符合条件的点.（12分）20（1）是否有不合格品设备无不合格品有不合格品合计新9010100旧7525100合计16535200零假设为：有不合格品与新旧设备无关联由列联表可知的观测值，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01（3分）（2）由题意，得，则， （5分）令，又，得当时，当时，（7分）所以最大时的值（8分）（3）由（2）知设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，（9分）所以若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，所以（10分）如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验（12分）21（1）由题意，解得，（1分）代入点得，解得，（3分）的方程为：；（4分）（2）由题意，当斜率都不为0时，设，当时，由对称性得，（5分）当时，联立方程，得恒成立，（6分）同理可得：，直线方程：，令，得，（7分）同理：，（8分），（10分）当斜率之一为0时，不妨设斜率为0，则，直线方程：，直线方程：，令，得，综上：.（12分）22（1）当时，则，当，函数在上单调递减；当，函数在上单调递增，所以，（3分）又，所以存在，使得，即的零点个数为2（5分）（2）不等式即为，设，则，（6分）设，当时，可得，则单调递增，此时当无限趋近时，无限趋近于负无穷大，不满足题意；（7分）当时，由，单调递增，当无限趋近时，无限趋近于负数，当无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点，即，当时，可得，单调递减；当时，可得，单调递增，（8分）所以，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，所以因为恒成立，即恒成立，（10分）令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即，又由恒成立，则，所以.（12分）

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