广西专用2022年高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念及运算含解析新人教A版理2

考点规范练14　导数的概念及运算 基础巩固 1.设函数f(x)=x,则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=(　　) A.0 B.1 C.2 D.-1 2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　) A.e B.-e C.1e D.-1e 3.(2021广西南宁模拟)下列函数求导运算正确的是(　　) A.(log2x)'=ln2x B.(e-x)'=e-x C.(xcos x)'=cos x+xsin x D.[ln(2x+1)+f'(1)]'=22x+1 4.(2021山东滨州二模)设曲线y=f(x)=e2ax(e=2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a=(　　) A.-1 B.-14 C.14 D.1 5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) 6.(2021贵州贵阳一中高三月考)已知曲线y=f(x)=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则(　　) A.a=e,b=-1 B.a=1,b=0 C.a=1,b=-1 D.a=e,b=0 7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有性质T.下列函数中具有性质T的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 8.(2021广西桂林、崇左、贺州模拟)设曲线f(x)=ln x与g(x)=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=(　　) A.-1 B.-34 C.14 D.34 9.已知函数f(x)=3ex+1+x3,其导函数为f'(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 019)-f'(-2 019)的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 10.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　.  11.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=lnxx+a,且f'(1)=1,则a=　　　　　,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为　　　　　.  12.已知函数f(x)=cos 2x的导函数为f'(x),则函数g(x)=23f(x)+f'(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是　　　　.  能力提升 13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　) 14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　) A.1 B.2 C.22 D.3 15.函数f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8),其中Sn为数列{an}的前n项和,若an=1n(n+1),则f'(0)=(　　) A.112 B.19 C.18 D.14 16.(2021黑龙江齐齐哈尔三模)已知函数f(x)=sin x和g(x)=cos x图象的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论:①f(x0)=g(x0);②f'(x0)=g'(x0);③f(x)和g(x)的图象在点P处的切线的倾斜角互补;④f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直.其中正确的是(　　) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 17.(2021河北石家庄二模)已知函数f(x)=ax+bcos 2x+csin 2x,其中a,b,c∈R,b2+c2=14,f'(x)为f(x)的导函数.若存在x1,x2∈R使得f'(x1)·f'(x2)=-1成立,则a+b+c的最大值为　　　　　.  高考预测 18.已知函数f(x)的导函数为f'(x),记f1(x)=f'(x),f2(x)=f1'(x)……fn+1(x)=fn'(x)(n∈N*).若f(x)=xsin x,则f2 019(x)+f2 021(x)=(　　) A.-2cos x B.-2sin x C.2cos x D.2sin x 答案： 1.B　解析根据题意,limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)(1+Δx)-1=f'(1), 又f(x)=x,则f'(x)=1,于是f'(1)=1, 所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1. 2.C　解析由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=1x. 设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0). 因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1e. 3.D　解析(log2x)'=1xln2,故A错误;(e-x)'=-e-x,故B错误;(xcosx)'=cosx-xsinx,故C错误;[ln(2x+1)+f'(1)]'=22x+1,故D正确. 4.B　解析由函数f(x)=e2ax,可得f'(x)=2ae2ax,则f'(0)=2a,即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率k=2a,所以切线方程为y-1=2ax,即y=2ax+1. 要使得切线y=2ax+1与直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则需满足直线y=2ax+1与直线2x-y-1=0互相垂直,即2a×2=-1,解得a=-14. 5.C　解析∵f(x)=x3-x+3, ∴f'(x)=3x2-1. 设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1, 故P(1,3)或(-1,3). 经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C. 6.C　解析由题意,可得f'(x)=aex+1-lnxx2. 因为曲线y=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b, 所以f'(1)=ae+1=e+1, 解得a=1. 将切点坐标(1,e)代入切线方程y=ex+x+b,有e+1+b=e,解得b=-1. 7.A　解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2), 则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2). 若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1. A项,y'=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T; B项,y'=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有性质T; C项,y'=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有性质T; D项,y'=3x2≥0,显然k1·k2=3x12·3x22=-1无解,故该函数不具有性质T. 综上,选A. 8.B　解析因为f(x)=lnx,所以f'(x)=1x, 又因为切线的斜率为1,所以由1x=1,解得x=1,所以f(1)=0,所以曲线f(x)=lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 因为g(x)=(x+a)2,所以g'(x)=2x+2a. 由2x+2a=1,解得x=12-a,代入切线方程y=x-1得y=-12-a,再将点12-a,-12-a的坐标代入g(x)=(x+a)2,解得a=-34. 9.C　解析f'(x)=-3ex(ex+1)2+3x2,f'(-x)=-3ex(ex+1)2+3x2, 所以f'(x)为偶函数,所以f'(2019)-f'(-2019)=0, 又因为f(x)+f(-x)=31+ex+x3+31+e-x-x3=31+ex+3ex1+ex=3, 所以f(2020)+f(-2020)+f'(2019)-f'(-2019)=3. 10.-3　解析设y=f(x)=(ax+1)ex, 则f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex, ∴f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2, ∴a=-3. 11.0　y=1e　解析由f(x)=lnxx+a, 得f'(x)=x+ax-lnx(x+a)2. 由f'(1)=1,即11+a=1,解得a=0, 所以f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2, 所以f(e)=1e,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=1e. 12.5π12,11π12　解析f'(x)=-2sin2x, ∴g(x)=23cos2x-2sin2x=-4sin2x-π3, 由π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ(k∈Z),得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z), 又x∈[0,π],∴5π12≤x≤11π12. ∴g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是5π12,11π12. 13.D　解析由题中y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减, 说明函数y=f(x)的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C. 又由题中图象知函数y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交, 说明函数y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B. 故选D. 14.B　解析因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线y=x2-lnx在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求距离的最小值为2. 15.B　解析∵f(x)=x(x-S1)(x-S2)·…·(x-S8), ∴f'(x)=[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]', 则f'(0)=S1S2…S8, ∵an=1n(n+1)=1n-1n+1, ∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1, ∴S1S2…S8=12×23×…×89=19,即f'(0)=19. 16.A　解析对于①,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,所以f(x0)=g(x0),故①正确; 对于②,因为f(x)和g(x)的图象在点P处的切线不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②错误; 对于③,由上可知,f(x0)=g(x0),即sinx0=cosx0,所以f'(x0)+g'(x0)=cosx0-sinx0=0,故③正确; 对于④,假设f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直,则有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,这与|sin2x0|≤1矛盾,故④错误. 17.22　解析∵b2+c2=14, ∴可设b=12cosθ,c=12sinθ, ∴f'(x)=a-2bsin2x+2ccos2x=a-(sin2xcosθ-cos2xsinθ)=a-sin(2x-θ), ∴a-1≤f'(x)≤a+1. ∵存在x1,x2∈R使得f'(x1)·f'(x2)=-1, ∴a-1<0,a+1>0,(a-1)(a+1)≤-1, ∴-1

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