考点规范练19 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固
1.若cosα+π6=45,则sinα-π3=( )
A.45 B.35
C.-35 D.-45
2.tan 255°=( )
A.-2-3 B.-2+3
C.2-3 D.2+3
3.(2021西藏山南模拟)若α为第三象限角,则cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为( )
A.3 B.-3
C.1 D.-1
4.sin29π6+cos-29π3-tan25π4=( )
A.0 B.12
C.1 D.-12
5.已知函数f(x)=ax-2+2(a>0,且a≠1)的图象过定点P,且角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P,则cos11π2-αsin9π2+α+sin2αcosπ2+αsin-π-α=( )
A.23 B.-23
C.32 D.-32
6.已知sin α=3cos α,则sin2α+sin αcosα+1=( )
A.4+34 B.7+34 C.1 D.3
7.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于( )
A.223
B.-13
C.13
D.-223
8.已知sin αcosα=-18,π4<α<3π4,则sin α+cosα的值等于( )
A.32
B.-32
C.34
D.-34
9.(2021上海杨浦一模)已知sin α=-55,α∈-π2,π2,则sinα+π2= .
10.已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα= .
11.(2021广西崇左高三检测)化简:sinπ2+αcosπ2-αcos(π+α)+sin(π-α)cosπ2+αsin(π+α)= .
12.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)的值为 .
能力提升
13.(2021海南海口模拟)已知tan θ+1tanθ=4,则sin4θ+cos4θ=( )
A.38 B.12
C.34 D.78
14.已知sinα1+cosα=2,则tan α=( )
A.-43 B.34
C.43 D.2
15.已知在△ABC中,3sinπ2-A=3sin(π-A),且cosA=-3cos(π-B),则△ABC为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
16.已知sinx+π6=14,则sin5π6-x+cosπ3-x的值为( )
A.0 B.14
C.12 D.-12
17.(2021上海卫育中学高三月考)若sin θ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则a= .
高考预测
18.(2021河北唐山模拟)已知tan θ=-3,则sinπ2+θcos3π2-θ=( )
A.110 B.310
C.12 D.35
答案：
1.D 解析若cosα+π6=45,则sinα-π3=-cosπ2+α-π3=-cosα+π6=-45.
2.D 解析tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3.
3.B 解析因为α为第三象限角,
所以cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.
4.A 解析原式=sin4π+5π6+cos-10π+π3-tan6π+π4=sin5π6+cosπ3-tanπ4=12+12-1=0.
5.B 解析函数f(x)=ax-2+2(a>0,且a≠1)的图象过定点P(2,3),则tanα=32.
则cos11π2-αsin9π2+α+sin2αcosπ2+αsin(-π-α)
=cos3π2-αsinπ2+α+sin2α-sinαsinα
=-sinαcosα+2sinαcosα-sin2α
=sinαcosα-sin2α=-cosαsinα
=-1tanα=-23.
6.B 解析∵sinα=3cosα,∴tanα=3,
∴sin2α+sinαcosα+1
=2sin2α+sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α
=2tan2α+tanα+1tan2α+1
=2×3+3+13+1=7+34.
7.D 解析∵cos5π12+α=sinπ12-α=13,
又-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12.
∴cosπ12-α=-1-sin2π12-α=-223.
8.A 解析∵sinαcosα=-18<0,π4<α<3π4,∴π2<α<3π4,
∴sinα+cosα>0,(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1-14=34,
∴sinα+cosα=32.
9.255 解析因为sinα=-55,α∈-π2,π2,
所以α∈-π2,0,可得cosα>0,
所以cosα=1-sin2α=1--552=255,
所以sinα+π2=cosα=255.
10.13 解析∵tan(π-α)=2,∴tanα=-2,
∴sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-2+1-2-1=13.
11.0 解析原式=cosαsinα-cosα+sinα(-sinα)-sinα=-sinα+sinα=0.
12.-1 解析当k=2n(n∈Z)时,
原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)=sin(-α)cos(-π-α)sin(π+α)cosα=-sinα(-cosα)-sinαcosα=-1.
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=sin[(2n+1)π-α]cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]cos[(2n+1)π+α]=sin(π-α)cosαsinαcos(π+α)=sinαcosαsinα(-cosα)=-1.
综上,原式=-1.
13.D 解析tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ=4,则sinθcosθ=14.
故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×116=78.
14.A 解析∵sinα1+cosα=2,∴sinα=2+2cosα,
∴两边平方,得sin2α=4+8cosα+4cos2α,
即1-cos2α=4+8cosα+4cos2α,
整理得,5cos2α+8cosα+3=0,
解得cosα=-1,或cosα=-35.
当cosα=-1时,1+cosα=0,sinα1+cosα无意义,
∴cosα=-35,此时,sinα=45,tanα=sinαcosα=-43.
15.B 解析由3sinπ2-A=3sin(π-A),得3cosA=3sinA,所以tanA=33,
又因为A是△ABC的内角,所以A=π6.
由cosA=-3cos(π-B),得cosπ6=3cosB,
所以cosB=12,所以B=π3.
所以C=π-A-B=π2.故△ABC为直角三角形.
16.C 解析因为sinx+π6=14,
所以sin5π6-x+cosπ3-x
=sinπ-x+π6+cosπ2-x+π6
=2sinx+π6=2×14=12.
故选C.
17.1-2 解析由题意,Δ=a2-4a≥0,sinθ+cosθ=a,sinθcosθ=a,
所以a≥4或a≤0,且sinθ+cosθ=sinθcosθ,
所以(sinθ+cosθ)2=(sinθcosθ)2,
所以1+2sinθcosθ=(sinθcosθ)2,即a2-2a-1=0,
因为a≥4或a≤0,所以a=1-2.
18.B 解析sinπ2+θcos3π2-θ=cosθ(-sinθ)=-sinθcosθ=-sinθcosθsin2θ+cos2θ=-tanθ1+tan2θ=--31+9=310.
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