广西专用2022年高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念及

考点规范练14　导数的概念及运算 基础巩固 1.设函数f(x)=x,则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=(　　) A.0 B.1 C.2 D.-1 2.下列函数求导运算正确的是(　　) A.(log2x)'=ln2x B.lnxx'=1+lnxx2 C.(xcos x)'=cos x+xsin x D.1lnx'=-1x(lnx)2 3.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　) A.-1 B.0 C.2 D.4 4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) 5.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　) A.-8 B.-6 C.-1 D.5 6.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　) A.1 B.2 C.22 D.3 7.(2021贵州贵阳一中高三月考)已知曲线y=f(x)=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则(　　) A.a=e,b=-1 B.a=1,b=0 C.a=1,b=-1 D.a=e,b=0 8.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　.  9.已知函数f(x)=2ex+1+sin x,其导函数记为f'(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 020)-f'(-2 020)的值为　.  10.(2021广东七校联合体联考)曲线f(x)=2x+cos x在点π2,π处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是　　　　　.  11.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　.  12.已知函数f(x)=cos 2x的导函数为f'(x),则函数g(x)=23f(x)+f'(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是　.  能力提升 13.(2021四川凉山三模)已知函数f(x)=ex-lnxx-1x+a,若曲线y=f(x)在点(b,f(b))处与直线y=0相切,则a=(　　) A.1 B.0 C.-1 D.-1或1 14.若存在经过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于(　　) A.-1或-2564 B.-1或214 C.-74或-2564 D.-74或7 15.函数f(x)=x(x-S1)(x-S2)…(x-S8),其中Sn为数列{an}的前n项和,若an=1n(n+1),则f'(0)=(　　) A.112 B.19 C.18 D.14 16.(2021黑龙江齐齐哈尔三模)已知函数f(x)=sin x和g(x)=cos x图象的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论: ①f(x0)=g(x0); ②f'(x0)=g'(x0); ③f(x)和g(x)的图象在点P处的切线的倾斜角互补; ④f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直. 其中正确的是(　　) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④ 高考预测 17.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=lnxx+a,且f'(1)=1,则a=　　　　　,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为　　　　　.  答案： 1.B　解析根据题意,limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)(1+Δx)-1=f'(1), 又f(x)=x,则f'(x)=1,于是f'(1)=1, 所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1. 2.D　解析(log2x)'=1xln2,故A错误; lnxx'=1-lnxx2,故B错误; (xcosx)'=cosx-xsinx,故C错误; 1lnx'=-1x(lnx)2=-1x(lnx)2,故D正确. 3.B　解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-13. ∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x), ∴g'(3)=f(3)+3f'(3). 又由题图可知f(3)=1, ∴g'(3)=1+3×-13=0. 4.C　解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1. 设点P(x,y),则f'(x)=2, 即3x2-1=2,解得x=1或x=-1, 故P(1,3)或(-1,3). 经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C. 5.A　解析由题意得直线y=kx+1过点A(1,2), 故2=k+1,即k=1. ∵函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2), ∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2. 将点A(1,2)的坐标代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3, 故ab=(-2)3=-8.故选A. 6.B　解析因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1, 则曲线y=x2-lnx在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0, 所以两平行线间的距离为d=22=2. 故所求距离的最小值为2. 7.C　解析由题意,可得f'(x)=aex+1-lnxx2. 因为曲线y=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b, 所以f'(1)=ae+1=e+1,解得a=1. 将切点坐标(1,e)代入切线方程y=ex+x+b,有e+1+b=e,解得b=-1. 8.y=3x　解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex, ∴所求切线的斜率k=y'|x=0=3. ∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 9.2　解析因为f(x)=2ex+1+sinx, 所以f'(x)=-2ex(ex+1)2+cosx, 所以f(x)+f(-x)=2ex+1+sinx+2e-x+1+sin(-x)=2, f'(x)-f'(-x)=-2ex(ex+1)2+cosx+2e-x(e-x+1)2-cos(-x)=0, 所以f(2020)+f(-2020)+f'(2020)-f'(-2020)=2. 10.π28　解析f'(x)=2-sinx,f'π2=2-1=1, 所以曲线f(x)在点π2,π处的切线方程为y-π=x-π2,即y=x+π2, 所以切线在x轴上的截距为-π2,切线在y轴上的截距为π2, 所以切线与两坐标轴围成的三角形面积是π28. 11.4　解析由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2, ∵函数f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x, ∴f'(1)=g'(1)+2=4, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4. 12.5π12,11π12　解析f'(x)=-2sin2x, ∴g(x)=23cos2x-2sin2x=-4sin2x-π3, 由π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ(k∈Z), 得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z), 又x∈[0,π],∴5π12≤x≤11π12. ∴g(x)在区间[0,π]上的单调递增区间是5π12,11π12. 13.C　解析由f(x)=ex-lnxx-1x+a,得f'(x)=ex-1-lnxx2+1x2=ex+lnxx2. ∵曲线y=f(x)在点(b,f(b))处与直线y=0相切, ∴f'(b)=0,即eb+lnbb2=0, ∴eb·b=-lnbb=1b·ln1b, 两边同时取以e为底的对数,可得ln(eb·b)=ln1b·ln1b, 即lneb+lnb=ln1b+lnln1b, ∴b+lnb=ln1b+lnln1b. 设g(x)=x+lnx,则g'(x)=1+1x>0, ∴函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ∴b=ln1b,即b=-lnb,又f(b)=0, ∴f(b)=eb-lnbb-1b+a=0, 解得a=-1. 14.A　解析因为y=x3,所以y'=3x2. 设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x03), 则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03. 又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32. 当x0=0时,由直线y=0与曲线y=ax2+154x-9相切, 可得a=-2564; 当x0=32时,由直线y=274x-274与曲线y=ax2+154x-9相切,可得a=-1. 15.B　解析∵f(x)=x(x-S1)(x-S2)…(x-S8), ∴f'(x)=[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]+x[(x-S1)(x-S2)…(x-S8)]',则f'(0)=S1S2…S8. ∵an=1n(n+1)=1n-1n+1, ∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1, ∴S1S2…S8=12×23×…×89=19,即f'(0)=19. 16.A　解析对于①,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,所以f(x0)=g(x0),故①正确; 对于②,因为f(x)和g(x)的图象在点P处的切线不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②错误; 对于③,由上可知,f(x0)=g(x0),即sinx0=cosx0,所以f'(x0)+g'(x0)=cosx0-sinx0=0,故③正确; 对于④,假设f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直,则有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,这与|sin2x0|≤1矛盾,故④错误. 17.0　y=1e　解析由f(x)=lnxx+a,得f'(x)=x+ax-lnx(x+a)2. 由f'(1)=1,即11+a=1,解得a=0,所以f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2, 所以f(e)=1e,f'(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=1e. 7