考点规范练21 三角函数的图象与性质
基础巩固
1.(2021哈尔滨师大附中模拟)已知π4,3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)的两个相邻零点,则ω=( )
A.3 B.2 C.1 D.12
2.已知直线y=m(00)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.π6
3.若函数f(x)=sin2x-π3,则( )
A.f(1)>f(3)>f(2)
B.f(1)>f(2)>f(3)
C.f(2)>f(1)>f(3)
D.f(3)>f(2)>f(1)
4.已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=π4对称
B.关于直线x=π8对称
C.关于点π4,0对称
D.关于点π8,0对称
5.(2021浙江镇海中学高三月考)已知奇函数f(x)=cos(ωx+απ)(ω>0,0<α<1)的最小正周期为8π,则logωα的值是( )
A.2 B.-2
C.12 D.-12
6.(2021上海外国语大学附属大境中学高三月考)已知f(x)=cosωx+π3,ω>0,在区间[0,2π]内的值域为-1,12,则ω的取值范围是( )
A.23,43 B.0,13
C.0,23 D.13,23
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ是实数),若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,且fπ2>f(0),则f(x)的单调递增区间是( )
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
8.已知函数y=sinπ3x+π6在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
9.设函数f(x)=2sinωx-π3(ω>0),若对任意的实数x,f(x)≤fπ6恒成立,则ω取最小值时,f(π)=( )
A.2 B.3
C.-2 D.-3
10.(2021广西南宁三中高三月考)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则fπ6= .
11.已知函数y=2acos2x-π3+b(a<0)的定义域是0,π2,值域是[-5,1],则a= ,b= .
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为4π,且fπ3=1,则函数f(x)图象的对称中心是 .
能力提升
13.下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2内单调递增的是( )
A.y=|cos 2x|
B.y=|sin 2x|
C.y=cos|x|
D.y=sin|x|
14.(2021浙江湖州模拟)若函数f(x)=sinωx+π4在区间-π12,0内单调,且点Pπ8,0是f(x)图象的一个对称中心,则ω等于( )
A.6或-2 B.-10
C.9 D.-4或6
15.若函数f(x)=sinωx+π6在区间(0,π)内有且仅有一个极小值点,则正数ω的取值范围为( )
A.0,13 B.13,73
C.13,103 D.43,103
16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在区间-π3,π6上单调,且f-π3≤f(x)≤fπ6恒成立,则函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为( )
A.1 B.2
C.3 D.6+22
高考预测
17.已知函数f(x)=sinωx-π6(ω>0),若函数f(x)在区间(0,π)内有且只有两个零点,则ω的取值范围为( )
A.76,136
B.76,136
C.65,116
D.65,116
答案：
1.B 解析由题意知,f(x)=sinωx的周期T=2πω=23π4-π4=π,得ω=2.
2.A 解析由题意得,函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2π|ω|,又ω>0,∴ω=π3.故选A.
3.B 解析对于函数f(x)=sin2x-π3,
f(1)=sin2-π3,f(2)=sin4-π3,f(3)=sin6-π3,
∵π6<2-π3<π2,∴12f(2)>f(3).
4.B 解析∵函数f(x)的最小正周期为π,
∴2π|ω|=π.
又ω>0,∴ω=2.
∴f(x)=sin2x+π4.
∴由2x+π4=kπ+π2,k∈Z,得函数f(x)图象的对称轴方程为x=π8+kπ2,k∈Z.
故函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,故选B.
5.C 解析∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,即cos(απ)=0,
又0<α<1,∴α=12,
∵f(x)的最小正周期为8π且ω>0,
∴2πω=8π,解得ω=14,
∴logωα=log1412=12.
6.D 解析因为x∈[0,2π],ω>0,所以ωx+π3∈π3,2πω+π3,
又因为f(x)的值域为-1,12,
所以π≤2πω+π3≤5π3,所以ω∈13,23.
7.C 解析由于f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,故fπ6=sinπ3+φ=±1,即π3+φ=π2+kπ(k∈Z),故φ=π6+kπ(k∈Z).
因为fπ2=-sinφ,f(0)=sinφ,fπ2>f(0),所以-sinφ>sinφ,所以sinφ<0,所以φ=-5π6+2mπ(m∈Z),所以f(x)=sin2x-5π6.
令2kπ-π2≤2x-5π6≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).
8.B 解析由题意可知函数y=sinπ3x+π6的最小正周期T=6,当x=0时,y=12;当x=1时,y=1.因为函数y=sinπ3x+π6在区间[0,t]上至少取得2次最大值且t取正整数,所以t-1≥T,即t≥7,所以正整数t的最小值为7,故选B.
9.B 解析∵函数f(x)=2sinωx-π3(ω>0)对任意的实数x,有f(x)≤fπ6恒成立,
∴当ω最小时,有ω·π6-π3=π2,求得ω=5,∴f(x)=2sin5x-π3,
∴f(π)=2sin14π3=2sin4π+2π3=2sin2π3=3.故选B.
10.12 解析f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则φ=π2+kπ(k∈Z),而0<φ<π,故取k=0,得φ=π2,此时f(x)=sin2x+π2=cos2x,所以fπ6=cosπ3=12.
11.-2 -1 解析由x∈0,π2,得2x-π3∈-π3,2π3,
∴cos2x-π3∈-12,1,
又a<0,且函数的值域是[-5,1],
∴2a×1+b=-5,2a×-12+b=1,
解得a=-2,b=-1.
12.2kπ-2π3,0(k∈Z) 解析由题意得2πω=4π,解得ω=12,
故f(x)=sin12x+φ,
由fπ3=1,可得12×π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π3,
故f(x)=sin12x+π3,
由12x+π3=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-2π3,k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称中心为2kπ-2π3,0,k∈Z.
13.A 解析y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为π2,且在区间π4,π2内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间π4,π2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为
,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
14.A 解析因为点Pπ8,0是f(x)图象的一个对称中心,所以sinω×π8+π4=0,所以ω×π8+π4=kπ(k∈Z),ω=8k-2(k∈Z),若ω>0,则-ω×π12+π4≥-π2,所以0<ω≤9;
若ω<0,则-ω×π12+π4≤π2,所以-3≤ω<0.
故ω=-2或ω=6.
15.D 解析当00时,π6<ωx+π6<ωπ+π6,
∵f(x)在区间(0,π)内有且仅有一个极小值点,
∴3π2<ωπ+π6≤3π2+2π,
得43<ω≤103.故选D.
16.A 解析设函数f(x)的最小正周期为T,由题意知,T2=π6--π3=π2,即T=π,∴ω=2πT=2,
∴f(x)=2cos(2x+φ).
因为f(x)≤fπ6恒成立,所以当x=π6时,f(x)取得最大值,
所以fπ6=2cosπ3+φ=2,
即cosπ3+φ=1,又|φ|<π2,
∴φ=-π3,
∴f(x)=2cos2x-π3,
∴f(0)=1.
故选A.
17.B 解析∵x∈(0,π),ω>0,
∴ωx-π6∈-π6,ωπ-π6.
要使函数f(x)在区间(0,π)内有且只有两个零点,则π<ωπ-π6≤2π,解得76<ω≤136.
故选B.
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