考点规范练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
基础巩固
1.函数y=sin2x-π3在区间-π2,π上的大致图象是( )
2.(2021广西崇左二模)将函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与原函数图象重合,则实数ω的最小值是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.先将函数y=sinx+π6图象上所有的点向左平移π4个单位长度,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=sin2x+5π12
B.y=sin12x+5π12
C.y=sin12x-π12
D.y=sin12x+5π24
5.将函数f(x)=sin 2x图象上所有的点向右平移π4个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,a]上单调递增,则a的最大值为( )
A.π8 B.π4 C.π6 D.π2
6.将函数f(x)=2sin 2x图象上所有的点向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π6,则φ=( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
7.已知函数f(x)=sin6x+π4,则下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的图象关于点-π24,0对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=-π8对称
C.若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π24个单位长度,可得函数g(x)=sin 6x的图象
D.函数f(x)在区间π24,7π24上单调递减
8.(2021广西玉林三模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移π12个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=sin 2x
B.g(x)=sin2x-π4
C.g(x)=sin2x+π6
D.g(x)=sin2x-π6
9.若关于x的方程2sin2x+π6=m在区间0,π2上有两个不等实根,则m的取值范围是( )
A.(1,3) B.[0,2]
C.[1,2) D.[1,3]
10.(2021四川成都石室中学高三月考)已知函数f(x)=sin ωx+3cos ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.是偶函数
B.其图象关于直线x=π2对称
C.在区间π4,π2上是增函数
D.在区间π6,2π3上的值域为[-3,2]
11.已知函数y=g(x)的图象是由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到的,已知这两个函数的部分图象如图所示,则φ= .
12.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,那么ω的最小值等于 .
能力提升
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)0,ω>0,|φ|<π),已知函数y=|f(x)|的图象如图,则( )
A.f(x)=2sin4x+π3或f(x)=2sin4x-2π3
B.f(x)=2sin4x-π3
C.f(x)=2sin43x-8π9或f(x)=2sin4x3+π9
D.f(x)=2sin43x+8π9
15.现将函数f(x)=sin2x+2π3的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间0,a3和4a,7π6上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.π3,π2 B.π6,π3
C.π6,7π24 D.π4,3π8
16.(2021天津南开模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图,把函数f(x)的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,可得到函数g(x)的图象,下列结论中:①φ=π3;②函数g(x)的最小正周期为π;③函数g(x)在区间-π3,π12上单调递增;④函数g(x)的图象关于点-π3,0中心对称.
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
17.已知函数y=3sin12x-π4.
(1)用五点法作出函数的图象;
(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.
高考预测
18.(2021广西玉林模拟预测)已知函数f(x)=sinωx-π3(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象的一条对称轴是直线x=-π6,则ω的最小值为 .
答案：
1.A 解析令x=0,得y=sin-π3=-32,排除B,D.
由f-π3=0,fπ6=0,排除C.故选A.
2.C 解析因为函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与原函数图象重合,所以π3是f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的周期的倍数,设π3=k·2πω,k∈Z,所以ω=6k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,且最小值为6.
3.C 解析因为sinπ6x+φ∈[-1,1],所以函数y=3sinπ6x+φ+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数的最小值为k-3=2,解得k=5.
所以函数y的最大值为k+3=5+3=8.故选C.
4.B 解析将函数y=sinx+π6图象上所有的点向左平移π4个单位长度,得到函数y=sinx+π4+π6=sinx+5π12的图象,将函数y=sinx+5π12的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin12x+5π12的图象.故选B.
5.D 解析由题意可知,g(x)=sin2x-π4=-cos2x.
由2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),
得kπ≤x≤π2+kπ(k∈Z),当k=0时,0≤x≤π2,
故g(x)在区间0,π2上单调递增.故a的最大值为π2.
6.C 解析由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T2-φ(T为函数f(x)的周期).
故T2-φ=π6,又T=2π2=π,即φ=π3.
7.D 解析对于函数f(x)=sin6x+π4,
令x=-π24,可得f(x)=0,故函数f(x)的图象关于点-π24,0对称,故A正确;
令x=-π8,可得f(x)=-1,是最小值,故函数f(x)的图象关于直线x=-π8对称,故B正确;
将函数f(x)=sin6x+π4的图象沿x轴向右平移π24个单位长度,
可得函数y=sin6x-6×π24+π4=sin6x=g(x)的图象,故选项C正确;
在区间π24,7π24上,6x+π4∈π2,2π,f(x)没有单调性,故D错误.
8.C 解析由题图可知,A=1,T4=π3-π12,则T=π,
∵T=2π|ω|,ω>0,∴ω=2.
由f(x)的图象过点π3,0,得sin2×π3+φ=0,则2×π3+φ=kπ(k∈Z),得φ=kπ-2π3(k∈Z),
又|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=sin2x+π3,
∴g(x)=sin2x-π12+π3=sin2x+π6.
9.C 解析方程2sin2x+π6=m可化为sin2x+π6=m2,当x∈0,π2时,2x+π6∈π6,7π6,
画出函数y=f(x)=sin2x+π6在区间0,π2上的图象,如图所示.
由题意,得12≤m2<1,即1≤m<2,
∴m的取值范围是[1,2),故选C.
10.D 解析f(x)=sinωx+3cosωx=2sinωx+π3.
由于函数f(x)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,则该函数的最小正周期为π.
∵ω>0,∴ω=2ππ=2,∴f(x)=2sin2x+π3.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)=2sin2x-π6+π3=2sin2x的图象.
对于A选项,函数g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),
函数g(x)为奇函数,A选项错误;
对于B选项,gπ2=2sinπ=0≠±2,所以,函数g(x)的图象不关于直线x=π2对称,B选项错误;
对于C选项,当x∈π4,π2时,π2≤2x≤π,则函数g(x)在区间π4,π2上是减函数,C选项错误;
对于D选项,当π6≤x≤2π3时,π3≤2x≤4π3,则-32≤sin2x≤1,∴-3≤g(x)≤2.
∴函数g(x)在区间π6,2π3上的值域为[-3,2],D选项正确.
11.π3 解析由2x=π2得,函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一条对称轴为直线x=π4.
直线x=π8关于直线x=π4对称的直线方程为x=3π8,由题中图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=3π8的点平移到了x=17π24的位置,则φ=17π24-3π8=π3.
12.6 解析由题意,可知g(x)=sinωx-ωπ3,
由f(x)与g(x)的图象关于点π3,0对称,
所以g(x)=-f2π3-x,
即sinωx-ωπ3=-sinω2π3-x,
即sinωx-ωπ3=sinωx-2ωπ3恒成立,
故ωπ3=2kπ,k∈Z,即ω=6k,k∈Z,
所以正数ω的最小值为6.
13.A 解析由周期T=2π|ω|=π,又ω>0,得ω=2.
当x=2π3时,f(x)取得最小值,
所以4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,
即φ=π6+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=Asin2x+π6.
所以f(0)=Asinπ6=A2>0,
f(2)=Asin4+π6=32Asin4+A2cos4<0,f(-2)=Asin-4+π6=-32Asin4+A2cos4.
因为f(2)-f(-2)=3Asin4<0,所以f(2)sinπ+π6=-12,
即sin4-π6+12>0,所以f(-2)0,所以ω=4.
由题图可知,函数|f(x)|的最大值为2,又A>0,∴A=2.
当x=7π24时,f7π24=±2,
整理得4×7π24+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ-2π3(k∈Z),
又因为|φ|<π,所以φ=π3或φ=-2π3.
故函数f(x)=2sin4x+π3或f(x)=2sin4x-2π3.
15.C 解析∵函数f(x)=sin2x+2π3的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,
∴g(x)=sin2x-π4+2π3=sin2x+π6,由2kπ-π2≤2
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