2022年高考数学真题试卷（北京卷） 含解析

1、2022年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（2022北京）已知全集 U=x|3x3 ，集合 A=x|2N0 时， an0 ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性证明：若 an 为递增数列，则有对 nN+ ， an+1an ，公差 d=an+1an0 ，取正整数 N=0a1d+2 （其中 a1d 不大于 a1d 的最大正整数），则当 nN0 时，只要 an0 ，都有 an=a1+(n1)da1+(a1d+1)d0 ； 必要性证明：若存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ，因为 an=a1+(n1)d ，所以 dda1n ，对 nN0，nN+ 都成立，因为 limn+da1n=0 ，且 d0 ，所以 d0 ，对 nN+ ，都有 an+1an=d0 ， an+1an ，即 an 为递增数列，所以 an 为递增数列是“存在正整数 N0 ，当 nN0 时， an0 ”的充要条件.故

2、答案为：C【分析】先证明充分性：若 an 为递增数列，则 an+1an ，公差 d0 ，取正整数 N=0a1d+2 ，则当 nN0 时，只要 an0 ，都有 ana1+(a1d+1)d0 ；再证明必要性：若存在正整数 N0 ，当 an0 ，有 dda1n ，因为 limn+da1n=0 ，结合已知条件得 d0 ， an+1an ，即 an 为递增数列，综上即可判断.7（2022北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 1gP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K ； P 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 T=220 ， P=1026 时，二氧化碳处于液态B当 T=270 ， P=128 时，二氧化碳处于气态C当 T=300 ， P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T=360 ， P=729 时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【知识点】函数的图象；对数的运算性质【解析】【解答】A选项： lgP=lg10263 ， T=220 ，由图易知处

3、于固态； B选项： lgP=lg1282 ， T=270 ，由图易知处于液态；C选项： lgP=lg99873.999 ， T=300 ，由图易知处于固态；D选项： lgP=lg7292 ， T=360 ，由图易知处于超临界状态.故答案为：D【分析】根据选项所给P的值分别计算 lgP ，结合T的值以及图象逐个判断即可.8（2022北京）若 (2x1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ，则 a0+a2+a4= （） A40B41C-40D-41【答案】B【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】当 x=1 时， a0+a1+a2+a3+a4=1 ，当 x=1 时， a0a1+a2a3+a4=81 ，两式相加得 a0+a2+a4=41 . 故答案为：B【分析】令 x=1 和 x=1 ，所得两式相加即可求解.9（2022北京）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为6， S 是 ABC 及其内部的点构成的集合，设集合 T=QS|PQ5 ，则 T 表示的区域的面积为（）A34BC2D3【答案】B【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， C

4、O=23，PC=6 ，所以 PO=26 ，当CO上存在一点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为.故答案为：B【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 PO=26 ，当CO上存在一动点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 T 表示的区域的面积.10（2022北京）在 ABC 中， AC=3 ， BC=4 ， C=90 P 为 ABC 所在平面内的动点，且 PC=1 ，则 PAPB 的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6【答案】D【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，由题意易知 C(0，0)，A(3，0)，B(0，4) ，设 P(cos，sin)，0，2 ，PAPB=(3cos，sin)(cos，4sin)=3cos4sin+cos2+sin2=15sin(+)4，6 ，（sin=35，cos=45) . 故答案为：D【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 P(cos，sin)，0，2 ，利用坐标法即可解决问题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分

5、。11（2022北京）函数 f(x)=1x+1x 的定义域是 【答案】(，0)（0，1【知识点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】依题意 x01x0 ，解得 x(，0)（0，1 . 【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.12（2022北京）已知双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=33x ，则 m= 【答案】-3【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=xm ，故 m=3 . 【分析】先写出双曲线 y2+x2m=1 的渐近线，再根据已知条件即可得.13（2022北京）若函数 f(x)=Asinx3cosx 的一个零点为 3 ，则 A= ； f(12)= 【答案】1；2【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】 f(3)=Asin33cos3=32A32=0 ，解得 A=1 ； f(x)=sinx3cosx=2sin(x3) ，故 f(12)=2sin(123)=2sin(4)=2 . 【分析】根据函数的零点为 3 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式

6、化简，再将 12 代入即可求得.14（2022北京）设函数 f(x)=ax+1，xa(x2)2，xa ，若 f(x) 存在最小值，则 a 的一个取值为 ； a 的最大值为 【答案】0（答案不唯一）；1【知识点】分段函数的应用【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 a0 时， f(x)=ax+1，xa ，该段的值域为 （，a2+1) ，故整个函数没有最小值；当 a=0 时， f(x)=ax+1，xa 该段的值域为 1 ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，故此时函数 f(x) 的值域为 0，+) ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 0a2 时， f(x)=ax+1，xa ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+10 ，于是可得 02 时， f(x)=ax+1，xa ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 （a2)2，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+1(a2)2 ，此时不等式无解.综上， a 的最大值为1. 【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 a0 、 a=0 、 02 四种情况讨论函数 f(x) 的值域结合函数存在最小值列关于 a 的不等关系从而求解 a 的取值范围.15（2022北京）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn ，满足 anSn=9(n=1，2，) 给出下列四个结论： an 的第2项小于3； an

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