2022年高考数学真题试卷（北京卷） 含解析

2022年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（2022·北京）已知全集 U=x|3<x<3 ，集合 A=x|2<x1 ，则 CUA= （） A(2，1B(3，2)1，3)C2，1)D(3，2(1，3)【答案】D【知识点】补集及其运算【解析】【解答】根据题意可得： CUA=(3，2(1，3)故答案为：D【分析】直接根据补集的概念计算即可.2（2022·北京）若复数 z 满足 iz=34i ，则 |z|= （） A1B5C7D25【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】由已知条件可知 z=34ii=43i ，所以 |z|=(4)2+(3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.3（2022·北京）若直线 2x+y1=0 是圆 (xa)2+y2=1 的一条对称轴，则 a= （） A12B12C1D-1【答案】A【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 (a，0) ，所以由 2a+01=0 解得 a=12 . 故答案为：A【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 a 的值.4（2022·北京）已知函数 f(x)=11+2x ，则对任意实数 x ，有（） Af(x)+f(x)=0Bf(x)f(x)=0Cf(x)+f(x)=1Df(x)f(x)=13【答案】C【知识点】函数的应用【解析】【解答】由 f(x)=11+2x ，可得 f(x)=11+2x=2x1+2x ，所以 f(x)+f(x)=1 . 故答案为：C【分析】根据函数 f(x)=11+2x 的解析式求得 f(x) 的解析式，从而可得选项.5（2022·北京）已知函数 f(x)=cos2xsin2x ，则（） Af(x) 在 (2，6) 上单调递增Bf(x) 在 (4，12) 上单调递增Cf(x) 在 (0，3) 上单调递减Df(x) 在 (4，712) 上单调递增【答案】C【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性【解析】【解答】 f(x)=cos2xsin2x=cos2x ，选项A 中： 2x(，3) ，此时 f(x) 单调递增；选项B 中： 2x(2，6) ，此时 f(x) 先递增后递减；选项C中： 2x(0，23) ，此时 f(x) 单调递减；选项D 中： 2x(2，76) ，此时 f(x) 先递减后递增. 故答案为：C【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 f(x)=cos2x ，再逐项分析选项即可.6（2022·北京）设 an 是公差不为0的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性证明：若 an 为递增数列，则有对 nN+ ， an+1>an ，公差 d=an+1an>0 ，取正整数 N=0a1d+2 （其中 a1d 不大于 a1d 的最大正整数），则当 n>N0 时，只要 an>0 ，都有 an=a1+(n1)d>a1+(a1d+1)d>0 ； 必要性证明：若存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ，因为 an=a1+(n1)d ，所以 d>da1n ，对 n>N0，nN+ 都成立，因为 limn+da1n=0 ，且 d0 ，所以 d>0 ，对 nN+ ，都有 an+1an=d>0 ， an+1>an ，即 an 为递增数列，所以 an 为递增数列是“存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ”的充要条件.故答案为：C【分析】先证明充分性：若 an 为递增数列，则 an+1>an ，公差 d>0 ，取正整数 N=0a1d+2 ，则当 n>N0 时，只要 an>0 ，都有 an>a1+(a1d+1)d>0 ；再证明必要性：若存在正整数 N0 ，当 an>0 ，有 d>da1n ，因为 limn+da1n=0 ，结合已知条件得 d>0 ， an+1>an ，即 an 为递增数列，综上即可判断.7（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 1gP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K ； P 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 T=220 ， P=1026 时，二氧化碳处于液态B当 T=270 ， P=128 时，二氧化碳处于气态C当 T=300 ， P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T=360 ， P=729 时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【知识点】函数的图象；对数的运算性质【解析】【解答】A选项： lgP=lg1026>3 ， T=220 ，由图易知处于固态； B选项： lgP=lg128>2 ， T=270 ，由图易知处于液态；C选项： lgP=lg99873.999 ， T=300 ，由图易知处于固态；D选项： lgP=lg729>2 ， T=360 ，由图易知处于超临界状态.故答案为：D【分析】根据选项所给P的值分别计算 lgP ，结合T的值以及图象逐个判断即可.8（2022·北京）若 (2x1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ，则 a0+a2+a4= （） A40B41C-40D-41【答案】B【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】当 x=1 时， a0+a1+a2+a3+a4=1 ，当 x=1 时， a0a1+a2a3+a4=81 ，两式相加得 a0+a2+a4=41 . 故答案为：B【分析】令 x=1 和 x=1 ，所得两式相加即可求解.9（2022·北京）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为6， S 是 ABC 及其内部的点构成的集合，设集合 T=QS|PQ5 ，则 T 表示的区域的面积为（）A34BC2D3【答案】B【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， CO=23，PC=6 ，所以 PO=26 ，当CO上存在一点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为.故答案为：B【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 PO=26 ，当CO上存在一动点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 T 表示的区域的面积.10（2022·北京）在 ABC 中， AC=3 ， BC=4 ， C=90° P 为 ABC 所在平面内的动点，且 PC=1 ，则 PAPB 的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6【答案】D【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，由题意易知 C(0，0)，A(3，0)，B(0，4) ，设 P(cos，sin)，0，2 ，PAPB=(3cos，sin)(cos，4sin)=3cos4sin+cos2+sin2=15sin(+)4，6 ，（sin=35，cos=45) . 故答案为：D【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 P(cos，sin)，0，2 ，利用坐标法即可解决问题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（2022·北京）函数 f(x)=1x+1x 的定义域是 【答案】(，0)（0，1【知识点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】依题意 x01x0 ，解得 x(，0)（0，1 . 【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.12（2022·北京）已知双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=±33x ，则 m= 【答案】-3【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=±xm ，故 m=3 . 【分析】先写出双曲线 y2+x2m=1 的渐近线，再根据已知条件即可得.13（2022·北京）若函数 f(x)=Asinx3cosx 的一个零点为 3 ，则 A= ； f(12)= 【答案】1；2【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】 f(3)=Asin33cos3=32A32=0 ，解得 A=1 ； f(x)=sinx3cosx=2sin(x3) ，故 f(12)=2sin(123)=2sin(4)=2 . 【分析】根据函数的零点为 3 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 12 代入即可求得.14（2022·北京）设函数 f(x)=ax+1，x<a(x2)2，xa ，若 f(x) 存在最小值，则 a 的一个取值为 ； a 的最大值为 【答案】0（答案不唯一）；1【知识点】分段函数的应用【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 a<0 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （，a2+1) ，故整个函数没有最小值；当 a=0 时， f(x)=ax+1，x<a 该段的值域为 1 ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，故此时函数 f(x) 的值域为 0，+) ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 0<a2 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+10 ，于是可得 0<a1 ；当 a>2 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 （a2)2，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+1(a2)2 ，此时不等式无解.综上， a 的最大值为1. 【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 a<0 、 a=0 、 0<a2 、 a>2 四种情况讨论函数 f(x) 的值域结合函数存在最小值列关于 a 的不等关系从而求解 a 的取值范围.15（2022·北京）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn ，满足 anSn=9(n=1，2，) 给出下列四个结论： an 的第2项小于3； an