《高等数学》标准规范教案

1、高等数学教 案课程名称 微积分初步 授课专业、班级 08工程造价 课程类型 专业基础课 课程学时数 68 课程学分数 4学分 教材版本_高等数学孙伟主编_考核方式 考勤、理论、平时成绩、期末考试 授课教师 授课时间 08.0908.12.31 2008 2009 学年第 一 学期一 、课程单元、章节 第一章 函数、极限与连续二 、教学要求 1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4 掌握基本初等函数的性质及其图形。5 会建立简单应用问题中的函数关系式。三、 重点和难点 1 . 重点： 基本初等函数的性质及其图形 2 . 难点：复合函数及分段函数的概念。四、教学进度：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。1.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单应用问题中的函数关系式。五、课时数 4六、教学方式： 课堂讲解，学生课堂课后练习七、作业：教材第9页 1，3，4，7，10八、参考

2、书籍：应用高等数学上， 翟向阳主编， 上海交通大学出版社高等数学盛骤 等编 ，浙江大学出版社九、教学小结：本章的主要内容在中学已讲过，在教授时注意将以前所学的知识作系统的回顾，并作适当的加深，使学生对初等函数形成比较完整的概念，为学习定积分奠定良好的基础。学生对该章节的内容反映较好。十、教学过程及内容：1.1 函数1 。1。1 函数的概念 定义设为点集，则映射：称为定义在上的函数，记为 ，其中：称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。称为函数的值域。函数常用，等表示，如，等。函数的定义域：使得表达式（算式）有意义的全体实数。如， ，集合称为函数的图形。 函数的参数变形（复习）。 例： 例： 函数的图像 函数图像的描绘。（描点法，举例介绍） 函数图像的平移： 例： 平移一单位后，解析式是？ 函数的单调性 则f(x)单增。反之单减。从图像上看，单增的图像在x 的正方向上往上。即 例：判断的单调性。（单增） 以后判断函数的单调性还有别的方法，例如利用复合函数地方法和导数地方法。 函数的奇偶性奇函数： ，偶函数：奇函数和偶函数定义域对称。例：函数综合复习题。 1. 1.2 初等函数与复合函数

3、1基本初等函数（要求能做出图像，定义域。注意牢记。） 1）幂函数： ，定义域 以 为例2）指数函数： ，定义域 例如：3）对数函数： 定义域 4）三角函数：，5）反三角函数：，例题：1，做出函数的图像。 2，做出函数的图像。 3，求的定义域。 4，求的定义域。 注意分以及它的奇偶性讨论。 2初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。如， 不是初等函数。是初等函数。注意，要能区分初等函数和复合函数。例：3复合函数 设定义域为，定义域为，而且，则称为由与复合而成的复合函数，记为（）为与可以复合的条件。如与不能复合。有时，与复合的定义域可能是的定义域的一部分，如与复合得的定义域为为的定义域的一 部分。 单调性相同的函数复合成增函数，单调性不同的函数复合成减函数。 例1. 求下列函数的定义域 4 。分段函数：不同的区间段对应不同的解析式，这时候往往用分段函数来表示。例如1.1.4 常见的经济函数 1 需求函数 Qd=Qd(p) 一般是减函数。 2 供给函数 Qs=Qs(p) 一般是增函数。 3 成本函数 C=C0+C1 C0是固定

4、成本，一般为常数，C1是变动成本，是产量的函数，即C1= C1(q)。4 收入函数 R=pq=qp(q) q为产量,这里价格一般是产量的函数。5 利润函数 L=R-C 1.2 函数的极限 1.2.1极限的概念 1 数列的极限 数列是自变量为自然数的函数，.当时，若 称是的极限，记为 是一个有限的常数。 例：求下列数列的极限 ， ， 数列极限的基本性质 数列若有极限，则极限唯一。 有极限的数列一定有界，有界的数列不一定有极限。无界的数列一定无极限。注：有界例如： ，.都有界但无极限。对第二条简要证明:只需考察当时，是否是个有限数。由 容易得到。 2 函数的极限（1）自变量趋向于无穷时函数的极限例，且时， 时，. 定义：当时，若 称是当时的极限。 记为 是一个有限的常数。例： 求极限 ， ， ， 思考 是否存在？(2) 自变量趋向于某一个有限值时函数的极限 定义3：当时，若 称是当时的极限。 记为 是一个有限的常数例3：求 思考： 是否存在？(3)单侧极限 思考？ 两函数 从左边趋近0和从右边趋近于0时， 从左边趋近0时 从右边趋近于0时 当是从左边趋近时，记为 当是从右边趋近时，记为 定

5、义3 若时 称是在时的左极限。记为 时 称是在时的右极限，记为左极限和右极限统称单侧极限。 在存在极限左右极限存在且相等。即 例2：判断下列函数在是否有极限 1.2.2 极限的运算法则 例4：求下列极限 一般地： 例5：练习 ：， 例6：求极限 ：1.2.3 无穷小量与无穷大量 无穷小量 1 定义：如果当（或）时，函数f(x)的极限为零，称函数f(x)为（或）时的无穷小量，简称无穷小。 定理：若则。其中为时的无穷小. 例： 2 。无穷小性质 性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 例： 3 。无穷小的比较 定义 设，为无穷小如果 ，则说是比高阶的无穷小，记作；如果 ，则说是比低阶的无穷小；如果 ，则说与是同阶无穷小；如果 ，则说与是等价无穷小，记作；如果 ，则说是关于的阶无穷小。 无穷小替换方法：若，的极限存在，则的极限等于的极限。注意：替换时无穷小必须是因子。 常用的等价的无穷小量。 , , , 例3 ， 例4 因，故极限为零，解法是否正确？1.2.4 两个重要极限 与 1 夹逼定理和极限 定理： 若在某邻域内 且 ，则存在，且。 证明：

6、所以 即 由于，得 或 由于为偶函数，故在内，也有。由于当时 由夹逼准则，得 ，由夹逼准则，得 一般地：例1: , , ,3 单调数列极限和若 称数列是单调增数列。称数列是单调减数列。 定理：单调有界数列必有极限。 例2： 是单调增加数列。故 是存在的，令。 显然 定理： 证明：对于任何，存在正整数使得，因此有 由于 得 一般地： 或者 例3： 思考： 2.4 函数的连续性与连续函数的运算 1 函数连续性概念 （1）连续性定义连续性即是当自变量作微小变动时，函数值也相应的做微小变动，体现在函数图象上就是没有断点。 定义.1：当时，若称在连续。即. 显然在连续的充要条件是 若 在定义域内每一点连续，称是连续函数。 例1： 在任意区间内连续。 例.2：讨论 ，和 在x=0的连续性。 2 。函数的间断点如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。间断点有三种情况： (1) 在处没有定义；(2) 在处没有极限； (3) ；例如在处没有定义；当时没有极限。 当时定义2. 如果是间断点，当在左右极限都存在时，称为第一类间断点。 其余称为第二类间断点。 例3：判断，的间断点是什么类型。 例4 ：指出的间断点，及其类型。3.函数在一点连续的性质在连续 例5： ，4.闭区域上连续函数的性质定理1: 最大最小值定理： 在闭区间上连续的函数，在该区间上必有最大值和最小值。定理2：零点定理： 设函数在闭区间上连续，且，则必有，使得。 例6： 证明方程在区间内至少有一个根。定理3（介值定理）设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即，且，则对于介于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。证明：令，对应用零点定理，得存在，使得即 或 一 、 课程单元、章节 第三章 导数与微分二 、 教学要求1 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

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