高中数学新教材高一下期末复习第五讲第概率复习与检测

1、第 12 讲概率玩前必备 1事件概念(1)在条件 S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件(2)在条件 S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件(4)在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件(5)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。(6)不可能同时发生且二者之一必须有一个发生的两个事件称为对立事件。如果事件 A 与事件 B 互斥，则P(AB)P(A)P(B)若事件 A 与事件A 互为对立事件，则P(A)1P( A )2频率估计概率(1)在相同的条件S下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A)nAn为事件 A 出现的频率(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性这时，我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作 P(A)3古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型(1)试验的所

2、有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果(2)每一个试验结果出现的可能性相等4古典概型的概率公式P(A)事件 A包含的可能结果数试验的所有可能结果数mn.5相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A，B 是相互独立事件(2)若 A 与 B 相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若 A 与 B 相互独立，则A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立(4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 玩转典例 题型一事件的概念例 1将一枚硬币向上抛掷10 次，其中“正面向上恰有5 次”是 ()A必然事件B随机事件C不可能事件D无法确定答案B解析抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5 次是随机事件例 2从 40 张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从110 各 10 张)中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为_，对立事件为_“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点

3、数大于9”答案解析是互斥事件理由是：从40 张扑克牌中任意抽取1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件是互斥事件，且是对立事件理由是：从40 张扑克牌中，任意抽取1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件理由是：从40 张扑克牌中任意抽取1 张，“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件 玩转跟踪 1.从 6 个男生 2 个女生中任选3 人，则下列事件中必然事件是()A3 个都是男生B至少有1个男生C3 个都是女生D至少有 1 个女生答案B解析因为只有2 名女生，所以选出的3 人中至少有一个男生2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则 ()AA 与 B 是互斥而非对立事件BA 与 B是对立事件CB

4、 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件答案D解析A B出现点数1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC?，BC ，故事件 B， C 是对立事件题型二互斥事件与对立事件概率例 3一盒中装有12 个球，其中5 个红球， 4 个黑球， 2 个白球， 1 个绿球从中随机取出1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率解方法一(利用互斥事件求概率)记事件 A1任取 1 球为红球 ，A2 任取 1 球为黑球 ，A3 任取 1 球为白球 ，A4 任取 1 球为绿球 ，则 P(A1)512，P(A2)41213，P(A3)21216，P(A4)112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为P(A1 A2)P(A1)P(A2)5121334.(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为P(A1 A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)51213161112. 玩转跟踪 1经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概

5、率0.10.160.30.30.10.04求：至多2 人排队等候的概率；至少 3 人排队等候的概率解记“无人排队等候 ”为事件 A， “1人排队等候 ” 为事件 B， “ 2人排队等候 ”为事件 C，“3 人排队等候 ”为事件 D，“4 人排队等候 ”为事件 E，“ 5人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥记 “至多 2 人排队等候 ”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.记“至少3 人排队等候”为事件H，则 HDE F，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F) 0.30.10.040.44.题型三古典概型的概率例 4（天津高考）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6 名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4， A5，A6.现从这 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设 A为事件“

6、编号为A5和 A6的两名运动员中至少有1人被抽到”， 求事件 A发生的概率解析(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)从 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛的所有可能结果为A1， A2 ， A1， A3， A1，A4 ， A1，A5， A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5 ，A2，A6 ，A3，A4，A3，A5 ，A3，A6，A4， A5，A4，A6 ，A5，A6，共 15 种编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有1 人被抽到的所有可能结果为A1， A5 ， A1， A6 ，A2，A5，A2， A6，A3，A5 ，A3，A6， A4，A5 ，A4，A6，A5，A6，共 9 种因此，事件A 发生的概率P(A)91535. 玩转跟踪 1.（2019 江苏 6）从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1名女同学的概率是 . 解析从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，基本事件总数，选出的 2 名同学中至少有1 名女同学包含的基本事件个数，所以选出的2 名同学中至少有1名女同学

7、的概率是2.(2018 全国卷 )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ， 如30723在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A112B114C115D118【解析】不超过30 的素数有2， 3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有210C种不同的取法，这10 个数中两个不同的数的和等于30 的有 3 对，所以所求概率21031C15P，故选 C题型四相互独立事件概率例 5某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2 个家庭回答正确这道题的概率解(1)记“甲回答正确这道题”“ 乙回答正确这道题”“ 丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则 P(

8、A)34，且有P A PC 112，P B P C 14，即1P A 1P C 112，P B P C 14，所以 P(B)38，P(C)23.(2)有 0 个家庭回答正确的概率为P0 P( ABC )P( A ) P( B ) P( C )145813596，25C10n112322C CC7m710mPn有 1 个家庭回答正确的概率为P1 P(A BC A B C AB C)345813143813145823724，所以不少于2 个家庭回答正确这道题的概率为P1P0P115967242132. 玩转跟踪 1. （新课标高考） 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）超过1000 小时的概率都是0.5，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为【解析】三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为12p，超过 1000 小时时元件1或元件 2 正常工作的概率2131(1)4Pp， 那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为2138

9、ppp题型五统计和概率综合例 6从某学校高三年级共800 名男生中随机抽取50 名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1 人，第一组和第八组人数相同1元件2元件3元件(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5 的概率解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008 0.0160.040.040.06)50.82，所以后三组的频率为1 0.820.18，人数为 0.1850 9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为 0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又 mm129，所以 m 4，即第六组人数为4，第七组人数为 3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)

10、知身高在 180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在 190,195 的男生有两名，设为 A，B.若 x，y180,185)，有 ab，ac， ad，bc，bd，cd 共 6 种情况；若 x，y190,195 ，只有 AB 1 种情况；若 x，y 分别在 180,185)，190,195 内，有 aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB 共 8 种情况，所以基本事件的总数为68 115，事件 |xy|5 包含的基本事件的个数为61 7，故所求概率为715. 玩转跟踪 1海关对同时从A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 (单位：件 )如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 .地区ABC数量50150100(1)求这 6 件样品中来自A，B，C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同地区的概率规范解答解(1)A，B， C 三个地区商品的总数量为50150100 300，抽样比为6300150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是

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