2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

1、2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 14 页2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 14 页2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 14 页2009年数学(一)真题解析一一、 、选择题选择题(1)【答案】(A).【 【解解】方法一方法一g (无)=2 ln( 1 一 bx ) 一bx3 93/(乂) = x sin ax = (1 cz ) 3 + o (工3 ),由 /(jt )g(z)，得 a =1=-，应选(A).6方法二v x sin ax 1 . x 一 sin ax11m 7-= lim- -bx) b t-*o x-limb x-*o1 a cos ax3/ i，得 a = 1.再由lim卑辛Zf 0 gx )COS X= 丄=】9得b =，应选(A). bb 6由卄LO gx )_晁上2b 丁-*0 3j?方法三 g(z )一忘39显然a =】9且/(jc ) jc sin x36再由/(工)g (工)得b =-9应选(A)0【答案】(A)cos jc dro【 【解解】由由h =JJ 3/cos x dje d

2、y =2D】=(1 jc 2) cos x dx0 , J 03/cos x dj? dy = 0，2=JJD2I3 = JJ 3/cos xdxdy = 2 D3(x2 l)cos zdr V0,ocos x dr ydy =0 J -1丄4jj 3/cos x dx dy = 0 9 应选(A). D4方法点评：二重积分的对称性是考查的一个重点，关于对称性有:(1)设D关于夕轴对称，位于夕轴右侧的部分为D,则当 f( (.x,y)f(x,y)时 Jj/(j- )d(7 =2jj / (o ,j/)d(r.D D(2)设D关于工轴对称，位于工轴上侧的部分为Di， ，则D2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 14 页当 f（x, y） f（x,y）时）dcr =2/0 ,y）da.D Dj（3）当 D 关于夕x 对称时，/（攵,j/）djr dj/ ）dxdjy.D D【 【答案答案】（D）.【 【解解】 】 当一1 W z 0,使得|a” |M；由级数工|九|收敛得f 00 ” = 1lim | bn | = 0,oo由极限的定义，对 =1,存在N 0,当 “时，

3、2”|v 1,从而b N 时,a； ；b： ： M2bn ,因为M2bn |收敛，所以由正项级数比较审敛法得工證研收敛，应选（C）.n=l =1OO OO 8 =方法二 取Q” =（ ；）4 = 9显然lima” = 0且级数，bn收敛，但工a血=工 一眉 /n f n = l n = l ” = 1 发散，排除（A）；oo OO 1取a” = ybn = 一 9显然lima” = 0且发散，但工Q血=工收敛9排除（E）;兀 X n_* n = l n = l n = l 九取 an =*,b”=匸，显然lima4n =0且工b”发散，但工a宓=n = ” = 1 n = 1g收敛，排除（D）,应选（C）.（5）【 【答案答案】（A）.【 【解解】令令 A = （ai，a2，a3）,1 01201 1a i 巧a2，a3由0 000130200032009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 14 页又由(。1+ a 2,a 2 +(Z3 ,a： A_1方法点评：本题需要熟练掌握如下知识点：O A（1） 设A,B分别为加阶和”阶矩阵，则 =（一 | | ；BO（2） 设 A

4、 可逆，则 A* = IA lA1 ；/O A、t / O bt、 = 5 O “T o 更一般地有：设A, jB为m 阶可逆矩阵，且IA =a,B=b,则A OO B) )O AB O丿ICAOOBr=abrB丿 OO _ /abA Bl O =lbAabB x V O人) =(-l)mnabl B )=(1)如(O aB O O / 6A* OAOOB2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 14 页(7)【 【答案答案】(C).【 【解解】/(工)=0. 3爭(攵)+ 0. 35爭( 一)，f+ , C+00 ( (X 一 1 , p- ( (JC 1) + 1 (X 1 ,/x 1E(X) = 0. 3J 工爭(工)血+0. 35j 工卩(一-j dr = 1.目 -讥一-丿 d(-=1.+-C4X 12Ef+8x( (p (x )dj： + 0. 7J oo( (p(x)djc = 0. 7 ,应选(C).(8)【 【答案答案】(B).【 【解解】Fz(z)=PZ z=PXYz= PY = 0PXYz I Y = Q+PY = lPXYz -1=PY= QPz

5、0+PY= lPXz= yPz0+jPXz,当 z VO 时，Fz（z）= ;当 时，Fz（z）=* + 土（z）,0（z） z V 0 ,即Fz（z）=丿 显然FZ（ （Z）只有一个间断点，应选（E）.十*（z）, z$0,方法点评：设（X,Y）为二维随机变量，其中X为连续型随机变量,Y为非连续型随机变 量，Z=（X,Y）为二维随机变量（X,Y）的函数，求Z=) = (/I + yfz)dx + xff2dy 于是字=f + yfi，故 j =工fi + f 2 +3/22.ox ox dy(10) 【 【答案答案】工(1一丁)+ 2.【 【解解】 】 因为y+ay+by 0的通解为y = (C】+。2工)厂所以特征方程为A2+oA+6- 0, 特征值为A 1 =A2 =1,于是a=(入i+入2)= 2, 5=入1入2=1.显然微分方程yr 2yr + y = x的一个特解为 =工+ 2 ,其通解为 y=(Ci + C 2 J： ) eJ + x + 2, 由 y(0)= 2,j/(0)= 0,得0= 0,C2 = 1,故满足条件的特解为 y = z (1 e* )+2.2009年全

6、国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 14 页x ds =301 3(ID【 【答案答案】百.百.6【 【解解】 】 由 ds = /1 + y dx = a/1 + 2 dr 9得x + 4jc2 dz = 4(12)【 【答案答案】 】 K.Io42 1 1 _(1 + 4工工2)(1+4工工2)=(1+4工工2)2 o 12136【 【解解】方法一由对称性，得于是JJJ 之 $ dz dj/ dz a丄Q2兀j： ：2 dx dy dz = JJ3/2 djr dj/d ? n q(j: 2 + y2 + n? )cLz dj/dzIn $ dz djy d n方法二方法二则d(9 d(pJ 0人吓卄=警 o 15 J 00 = (2,夕夕9之)之)| (eq) G Dz， 1nW1，其中 D 八八 z2 (1 z2)dzIjJ z2 dx dydz = n1 2dzjj d2 arbn若 A =afiT =a2bi a2b、a4anb2 a”b”,，设A的特征值为入1， ，入2,”，则有:2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 14 页(1) A的特征

7、值只能是0与I(2) 因为入 1 +入 2 + + 入” =tr A = (a ,0) = k，所以 A i = A 2 = X n_i = 0,入” =k.解得唯一驻点（0,丄 e（14） 【 【答案答案】一一1.【 【解解】 】 因为X,=l,2,-,m）,所以E （X） = E（Xi）= np , E（S2） = D （X） =np（ p）, 于是 E（X kS2） =np + knpd p）. 因为X + kS2为np?的无偏估计量，所以np +如（1 p）=加撒k = 1.三三、 、解答题解答题（15） 【 【解解】（z ,夕）=2.丫（2 + J/）, /, （j: ,y） 2x2y + In y + 1.人；于；（工，夕）= 2;r（2 + ;/） = 0,fryx ,y） =2x2y + In y + 1= 0,f因为 A=/L（0,-） = 2（2 + j,2） =2（2 + g）,B =尤仏 + ）=5 | （o.i）=。，=尤（0,*） =（2工2+）=e, 所以B2-AC = -2e（2 + -） 0时，（工。，夕。）为_/&,）的极值点，其中当A 0时，（乂0

8、，夕。）为极小值 点；当A V0时9（工oQo）为极大值点.当AC-B2 ()+因为 limyQ) = A,所以 lim/7e) )= lim/() =A.工_()+ JT-*-0 -()+于是 lim 心)八0)= lim/(e)=A,即 /；(0) =A. 工-*。+ 攵 工-*()+yN(19)解P =-r， ，(2+j/2+z2)7 3_(J?2 + y2 + z2)2ap3jcQ=-， ， R s(jc2 y2 + )2 (x2 y2 z2 ) 23 c 1x (2 y2 + 2)2 2jc2 +y2 +z2Y2 I 2 q 2y 十 n LxT2 +宀/厂SR x2 + y2 一 2z23Q x2 + z2 2j/2dy 2+/)* dZ (2+j,2+z2)F 令：工2 +)2 =1,取外侧，且设工与U围成的区域为0,由高斯公式得工+石x dydz ydzdr + zdr dj/x dydz y Az dr + n da* dy _ (*Q 3P Q djc 3 y dz故2(d+ y + Fx dy dz -ydz dr + z dj? dy3_(x2 + y2 + /

9、 ) 23_(x2+y2+z2rdu = 0,# 工 djy c!n + jy dz dx + n dr dydv = 4兀=3 JJJ x2+y2+z2l方法点评：计算对坐标的曲面积分时，先可以考虑有无项可以代替.若P， ，Q， ，R连续可偏导，则可以考虑使用高斯公式，若曲面不封闭可以补充曲面.2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 11 页，共 14 页（20）【 【解解】 】(I )由(A = -1 0-11-4-11-2-11-2111 -1 -1-11 02C , 110 1 A112T0 1 20 0 000 0 0o ,得S（铝1_ 1_ 11为任意常数）.A2-2-2-200-4由（A?丨 1）=-4/ 220】10一2-20000 440-2/、 、0000120( (k2为任意常数）.-1kzk2-2ki-2（U ）方法一-11220-111-11101-2得440、k 3o0丄1b 2怡3怡3j. IH 0,得线性无关.方法二设怡11+怡22+&33=0 两边左乘A得紅AL +紅+匕血3 =0,由A】=0得怡21+怡3人3=0 两边左乘A得孔A迖3 =0,即

10、&3】=0.由/ H0得孔=0,代入得匕=0,再代入得& =0,故线性无关.2009年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 12 页，共 14 页方法点评：本题第一问考查非齐次线性方程组，属于基础知识范畴.第二问考查向量组的无关性，判断向量组线性相关性一般有如下重要思路：(1) 利用向量组相关性定义证明；(2) 利用向量组相关性性质证明.本题向量组的个数与向量组的维数相等，则向量组线性 无关的充分必要条件是该向量组构成的行列式不等于零.la01 (21)【解】(I )二次型的矩阵A =a-1 ,h1 a入一a 0-1由丨入A丨=0 A a1=(A a )入(a + 1)入(a 2) = 0 91 1A一 a + 1得A的特征值为A ! =a，入2 =a+ 1 U 3 = a2.Z10(U)方法一 由于/的规范形为砒+北，所以A合同于010，其秩为2,于是0o| A |=入1入 2入 3 = 0,故 a = 0 或 a = 1 或 a 2.当a=0时，入1=0,入2=1入3= 2,此时f的规范形为y y，不合题意；当a = 1时，入1 = 1,入2 0 ,A 3 = 3,此时f的规范形为一

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