2017年全国硕士研究生考试数学(三)真题解析
8页1、2017年数学(三)真题解析一、选择题(1)【答案】(A).【解】/(O + 0) - lim - =丄,/(0) = /(0 0) = 6,lo+ ax La因为/(j:)在攵=0处连续,所以/(0 + 0) = _/(0) =/(0 0),从而ab = *,应选(A).(2) 【答案】(D).解 由得 严=1,$=0,工=3,Iz; =3工 一 2工夕一攵? =0 1)=0, 1y=l, y = 3, 13/ =0.zfxx = 一2y , zxy = 3 一 2z 2y , zyy = 一2x ,当(jc ,y) = (0,0)时,AC B2 = 9 VO,则(0,0)不是极值点;当(工,夕)=(1,1)时,AC-B2 =3 0且A=-20,则(1,1)为极大值点;当Q ,夕)=(0,3)时,AC-B2=-90,则(0,3)不是极值点;当Q ,夕)=(3,0)时,AC - B2 =-9 0,则 /&) 0,从而/(1) /(-1) 0;若心)V0,则八工)V0,从而/(IX/(-1X0,故 |y | |/(-1) |,应选(C).方法二 由/&)/&)= y/2() 0得严Q)单
2、调递增,从而 /2(1) /2(-1),故 |/(1)| |/(-1)|,应选(C).(4) 【答案】(C).2 / 1 1 / 由 ln( 1 + 工)=工 一 -o (;2 )得 ln( 1-) =-7 + o ( 1 ,2 n n 2n 5 /于是 sin - -ln(l-) = (& + 1) + 7 + o ,n n n 2n 、n 丿由sin ln(l-)收敛得怡=1,应选(C).”=2 L /(5) 【答案】(A).【解】令A = aa 1 ,则A?=A,令 AXAX -AX,由(A? -A)X = (A2 -A)X - 0 得 A2 -A =0,A = 0 或 A =1,因为tr A A = a 1 a =1=4 + + A 得A的特征值为A r =入”一i =0,入” =1,E aaE aa 1 的特征值为入 i =入”_i =1,入” =0,从而 | E aaE aa 1 | = 0, 即E-aaTE-aaT不可逆,应选(A).(6) 【答案】(E).【解】A ,B,B C的特征值都为入1=入2=2,入3=12017年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页,共 8
3、页/00 由 2E A =0-1得 r(2EA) =1,则A可相似对角化,从而AC;o011/-1由 2E-B = |)0得 r(2E-3)=2,则B不可相似对角化,从而B与A,C不相似,o0应选(B).方法点评:设A,B为n n阶矩阵,且|AE -A |= XEB ,XEB ,即A 的特征值相同,则(1) 若矩阵都可相似对角化,则AB; ;(2) 若矩阵A,B中一个可相似对角化,一个不可相似对角化,则A ,BA ,B不相似.(7) 【答案】(C).【解】 P(A +B)C=P(AC + BC) =P(AC) + PCBC) - PCABC)-P(A)P(C) +P(B)P(C) - P(ABC),P(A +B)P(C) =P(A) +P(B) P(AB)P(C)= P(A)P(C) +P()P(C) P(AE)P(C),A U B 与 C 独立即为 F(A +B)C =P(A +B)P(C),从而A U B与C独立的充分必要条件为P(A)P(C) +P(E)P(C) P(ABC) =P(A)P(C) +P(B)P(C) P(AB)P(C), 或 P(ABC) =P(AB)P(C),即
4、 AB 与 C 独立,应选(C).(8) 【答案】(B).【解】 若总体XN(,/),则 “)2 2(“), -LCX, -X)2 X2(n-1),z=l 1=1” n因为总体 X N (“ 9】)9 所以(X: )2 2(/2)9 ( (X i X )2 X 2(7? 1)9:=1 1=1 X r 再由 X N(,一)得一“)N(O,1),从而 72(X “)2 右(1), n 14n不正确的是(B),应选(B).二、填空题3(9) 【答案】 y.【解】由定积分的奇偶性质得J (sin3jr + 丿兀? g2)也=| J x2 归=2 it2 x2 djrJ 7r J n J 0 (* (* 32兀2cos2/山=2 Fcos2tdt=-.J 0 J 0 2(10) 【答案】C2 +*/2气C为任意常数).【解】 一阶齐次差分方程yt+i 2yt =0的通解为yt = C2(C为任意常数);2017年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页,共 8 页设;Vr+i 2yt =2的特解为y * =at2,代入得a =y故yl+1-2yt =2的通解为必=C2 +*/2(C为任意常数).(
5、11) 答案】1 + (1 q)q.【解】 平均成本为乙(2)=器 =1 +严,总成本为C(Q)=Q + QeQ,故边际成本为 C(Q)=l + (l Q)e_Q.(12) 答案】【解】方法一由甘(7,3/)=夕兰(1工+2(1 + 夕)2(13/= d(xyey )得 ,y) xyey + C ,再由 f (0,0) = 0 得 C =0,故 f (x ,y) =xyey.方法二 由薯=夕e得 /(攵,夕)=dr +C = xyey + C,再由 /(0,0) = 0 得 C =0,故 f(x ,y) =xyey.(13) 答案】2.【解】 (A! ,Aa2,Aa2 ) = A (a 1929(X3),因为i ,a2,a2 ,a3线性无关,所以(i ,a2,a2 ?3)可逆,从而厂( (Aa i Au Au 2 AuAu 3) 厂(A) 9【解】E(X) = 1+q + 36 = 0,再由 * + a + b= l 得 q = b= +,Z10由A -*011 |得r(A) =2,故向量组Aa! ,Aa2 ,Aa3Aa! ,Aa2 ,Aa3的秩为2.00q(14)【答案】971 1
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