2017年全国硕士研究生考试数学（三）真题解析

2017年数学(三)真题解析一、选择题(1)【答案】(A).【解】/(O + 0) - lim - =丄，/(0) = /(0 0) = 6,lo+ ax La因为/(j:)在攵=0处连续，所以/(0 + 0) = _/(0) =/(0 0)，从而ab = *，应选(A).(2) 【答案】(D).解 由得 严=1，$=0，工=3,Iz； =3工 一 2工夕一攵？ =0 1)=0, 1y=l, y = 3, 13/ =0.zfxx = 一2y , zxy = 3 一 2z 2y , zyy = 一2x ,当(jc ,y) = (0,0)时,AC B2 = 9 VO,则(0,0)不是极值点；当(工，夕)=(1,1)时,AC-B2 =3 0且A=-20,则(1,1)为极大值点；当Q ,夕)=(0,3)时,AC-B2=-90,则(0,3)不是极值点；当Q ,夕)=(3,0)时,AC - B2 =-9 0,则 /&) 0,从而/(1) /(-1) 0；若心)V0,则八工)V0,从而/(IX/(-1X0,故 |y | |/(-1) |，应选(C).方法二 由/&)/&)= y/2() 0得严Q)单调递增，从而 /2(1) /2(-1),故 |/(1)| |/(-1)|，应选(C).(4) 【答案】(C).2 / 1 1 / 由 ln( 1 + 工)=工 一 -o (;2 )得 ln( 1-) =-7 + o ( 1 ,2 n n 2n 5 /于是 sin - -ln(l-) = (& + 1) + 7 + o ,n n n 2n 、n 丿由sin ln(l-)收敛得怡=1,应选(C).”=2 L /(5) 【答案】(A).【解】令A = aa 1 ,则A?=A,令 AXAX -AX，由(A? -A)X = (A2 -A)X - 0 得 A2 -A =0,A = 0 或 A =1,因为tr A A = a 1 a =1=4 + + A 得A的特征值为A r =入”一i =0,入” =1,E aaE aa 1 的特征值为入 i =入”_i =1,入” =0,从而 | E aaE aa 1 | = 0, 即E-aaTE-aaT不可逆，应选(A).(6) 【答案】(E).【解】A ,B,B C的特征值都为入1=入2=2,入3=12017年全国硕士研究生考试数学三真题第 1 页，共 8 页/00 由 2E A =0-1得 r(2EA) =1,则A可相似对角化，从而AC；o011/-1由 2E-B = |)0得 r(2E-3)=2,则B不可相似对角化，从而B与A,C不相似,o0应选(B).方法点评：设A,B为n n阶矩阵，且|AE -A |= XEB ,XEB ,即A 的特征值相同，则(1) 若矩阵都可相似对角化，则AB； ；(2) 若矩阵A,B中一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则A ,BA ,B不相似.(7) 【答案】(C).【解】 P(A +B)C=P(AC + BC) =P(AC) + PCBC) - PCABC)-P(A)P(C) +P(B)P(C) - P(ABC),P(A +B)P(C) =P(A) +P(B) P(AB)P(C)= P(A)P(C) +P()P(C) P(AE)P(C),A U B 与 C 独立即为 F(A +B)C =P(A +B)P(C),从而A U B与C独立的充分必要条件为P(A)P(C) +P(E)P(C) P(ABC) =P(A)P(C) +P(B)P(C) P(AB)P(C), 或 P(ABC) =P(AB)P(C),即 AB 与 C 独立，应选(C).(8) 【答案】(B).【解】 若总体XN(，/),则 “)2 2(“)， -LCX, -X)2 X2(n-1),z=l 1=1” n因为总体 X N (“ 9】)9 所以(X： )2 2(/2)9 ( (X i X )2 X 2(7? 1)9:=1 1=1 X r 再由 X N(，一)得一“)N(O,1),从而 72(X “)2 右(1), n 14n不正确的是(B),应选(B).二、填空题3(9) 【答案】 y.【解】由定积分的奇偶性质得J (sin3jr + 丿兀？ g2)也=| J x2 归=2 it2 x2 djrJ 7r J n J 0 (* (* 32兀2cos2/山=2 Fcos2tdt=-.J 0 J 0 2(10) 【答案】C2 +*/2气C为任意常数).【解】 一阶齐次差分方程yt+i 2yt =0的通解为yt = C2(C为任意常数)；2017年全国硕士研究生考试数学三真题第 2 页，共 8 页设；Vr+i 2yt =2的特解为y * =at2，代入得a =y故yl+1-2yt =2的通解为必=C2 +*/2(C为任意常数).(11) 答案】1 + (1 q)q.【解】 平均成本为乙(2)=器 =1 +严，总成本为C(Q)=Q + QeQ,故边际成本为 C(Q)=l + (l Q)e_Q.(12) 答案】【解】方法一由甘(7,3/)=夕兰(1工+2(1 + 夕)2(13/= d(xyey )得 ,y) xyey + C ,再由 f (0,0) = 0 得 C =0,故 f (x ,y) =xyey.方法二 由薯=夕e得 /(攵，夕)=dr +C = xyey + C,再由 /(0,0) = 0 得 C =0,故 f(x ,y) =xyey.(13) 答案】2.【解】 (A! ,Aa2,Aa2 ) = A (a 1929(X3),因为i ,a2,a2 ,a3线性无关，所以(i ,a2,a2 ?3)可逆，从而厂( (Aa i Au Au 2 AuAu 3) 厂(A) 9【解】E(X) = 1+q + 36 = 0,再由 * + a + b= l 得 q = b= +，Z10由A -*011 |得r(A) =2,故向量组Aa! ,Aa2 ,Aa3Aa! ,Aa2 ,Aa3的秩为2.00q(14)【答案】971 1 19则 E(X2) = (-2)2 X + 12 X + 32 X =-2 4 4 29所以 D(X) =E(X2)-E(X)2 =三、解答题(15)【解】x j- X t = uv 一 t e dt =04u 于 “ du = exoJu e u duo则limHf0+Jx t e dt-=lim Jx 3-H-o+4u eM duoJx3=lim0+4u eduoJ工32=hm h-*o+ 3 / 3y3 r+川+ /严山山=+牡好一 d(/)=|2 J o Jo (l+z +夕) 2o (1 + jc + y )+oodjco0 (1 +2 + y2Ydy(16)【解】2017年全国硕士研究生考试数学三真题第 3 页，共 8 页(17)【解】丄 I丄 Io11 +je2arctan x7TI121 + 2乂 丄0 麗+djc+80 1 +工心_+8 10 1 + 2jc 2 dx1 7t 厉兀7TIlim $ln(l + 心 & = i n n 丄7-d(2j： ：)0 1+(屁)A=lim 丄工ln(l +loo n k = x n 11x ln( 1 + 工)(Lz0ln( 1 + x )d(j?2 ) = -x2 ln(l + 乂) o 221 _ 丄1 (j:2 -1) + 1 o 7= Tln2 T.101+丄dro 1+鼻dj? = ln 2- In 2 = 2 4 2 2 4方法点评：本题考查定积分的定义求极限.n项和求极限一般分为两种类型：(1) 分子次数齐、分母次数齐，且分母的次数高于分子一次，采用定积分定义求极限，即賈諮皓)=畑血;(2) 若分子次数或分母次数不齐，一般使用夹逼定理.” i 11 _ ln(l + 工) x/ _ 1 1 _(1+j7)In2 (1+jc)j;2(l+j7)ln2(l+j?) jc 2 jr2(l + j?)ln2(l + )令 g(z) = (l+jt:)ln2(l+) x2 g(0) =0 ,gx ) = In2 (1 + j; ) + 21n(l+z) 2 g(0) = 0, 21n(l + jc) 2 2ln(l +工)一工g ()= vt- + TT7-2-(18)解】 令/(工)1 + 0,1 +g(0) =0, ) 得 g(z)V0(0Hl)；gQ) 0(0 1)g (0) = 0 ,得 g(z)V0(0VzVl),g (无)0(0工1)即 ff (j；) V0(0Vz V 1)，x ln(l x) _ 1x ln(l + j?) 2故 1G 务由再由因为 lim /(j; ) = limx-* 0+ x0+即占1V/Q)Vhb-1.(19)【证明】(I )由a从而 a” a”_ij-nan + an-x )得 an-bi n l丄(a”-a”_2)=n+i一 a占 a-St),7)卜n 一 1n 一 11 / X (_ l) I (fl a0) =2 / n !(a”_2 a”_3)2017年全国硕士研究生考试数学三真题第 4 页，共 8 页(-1)于是an !+ a”-i(一ILn ! ( (71 一 1) !+ a”一 2k = 2(1)k丨 a” | W 77- /? 1 na”z n=0 n=l n=l n=l=5 + 另 na”工+ 工2”_口” 另 na”工n = l n = l n = l、 n 1 、 n _ 、 n=7na亦十 2_j an- 乙 na”尢n = l n = l w = l=另 s_iz=qq +i = x n = jcS (x ) ?n = 1 n = 0 n = 0即 S(x)满足(1 jOSQ) hS(jc) = 0.由(1 h)S(h) jcS (jc ) = 0 得 S(jc) ( 1-) S(r) = 0,解得 x 一 1 fs c)_ 斗 I1 X再由 S(0) =1 得 C = 1,故 S(z) =-.1 一 x(20)【证明】(I )设A的特征值为入1，入2,入3，因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P,使得因为入1， ，入2,入3两两不同，所以r(A) $2, 又因为a3 = ai + 2a2,所以a!, a 2, a 3线性相关，从而r (A) V 3,于是r(A ) = 2.(U )因为厂(A) =2,所以AX =0基础解系含一个线性无关的解向量，(X (X + 2a 2 a 3 = 0 i +a2 +a3 =P=P得AX =0的通解为Ck为任意常数).41 一4 Fi1 1 | ,X = ，/(攵1，工2，攵 3)=XTAX,1 a立32017年全国硕士研究生考试数学三真题第 5 页，共 8 页因为入3=0,所以|A| = 0.1 -42由 |a | =一 3(a 一 2)=0 得 a = 2.i-1i-4iaA 2-14-1-1=A (A +3)(A 一6) = 0,得入i =一3,入 2 = 6,入 3 = 0.A +1-14A 251纠0-1由-3E - A *3E - A *21011415丿00 /得3对应的线性无关的特征向量为6E - A =/I 0 10得=6对应的线性无关的特征向量为0QE-AQE-A0 _1 2得入3 =0对应的线性无关的特征向量为0故正交矩阵为Q=规范化得y】=4=0121(;1丄4 - 1 4由由-1 7 - 14 - 1 40 010T X = QY , ,/(zi ,工2，3)AX . . 3yAX . . 3y + 6允.fi 9(22)【解】(I )E(Y)= 夕 2ydy =,2ydy =, J J o 32PYWE(Y)=尸丫彳=；2夕曲=y.(U)方法一 Fz(z) =PZ z =PX +Yz, 当 zVO 时,Fz(z)=O；2017年全国硕士研究生考试数学三真题第 6 页，共 8 页当 z $ 3 时，Fz（z） =1;当 o z i 时,fz（z）= px = o,y z = px = o,y