理论力学牛顿动力学方程.ppt

理论力学理论力学何国兴何国兴东华大学应用物理系东华大学应用物理系第一章 牛顿动力学方程§1.1 §1.1 经典力学基础经典力学基础————《《原理原理》》牛顿三大定律 §1.2 §1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式 牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt 若m 为常数， F = mdv /dt = ma 1 1、、直角坐标系直角坐标系 Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz例题：假设例题：假设“ “和平和平” ”号宇宙空间站在接近地面摧毁号宇宙空间站在接近地面摧毁 时，有一质量为时，有一质量为 m m 的碎片以水平方向的初速的碎片以水平方向的初速 vo 抛抛 出，已知空气阻力与速度成正比，即出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = -= - k kv （（ k k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程 解：牛顿第二定律：牛顿第二定律：mg g + f f = mg g - kv v = mdv v/dt 建立坐标系：x 轴 —— v vo o 方向; y 轴 —— 垂直向下方向。

初始条件： t = 0， xo = 0 ， yo = 0 ， zo = 0；vxo = vo ， vyo = 0 ， vzo = 0; 运动微分方程： - kvx = mdvx /dtmg - kvy = mdvy /dt0 = mdvz /dt运动微分方程： - kvx = mdvx /dtmg - kvy = mdvy /dt0 = mdvz /dt x方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/m y方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt→ vy = (mg/k)(1- e - kt/m ) z方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0v vx x = = v vo o e e- - kt/mkt/m v vy y = (mg /k)( 1-= (mg /k)( 1-e e- - kt/mkt/m ) ) v vz z = 0= 0v vx x = = v vo o e e- - kt/mkt/m ，，v vy y = (mg /k)( 1-= (mg /k)( 1-e e- - kt/mkt/m ) ) ，，v vz z = 0= 0 → x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) → y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) →→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0 运动方程运动方程: : x = (mvo /g)( 1- e - kt/m )y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )z = 0→ kt/m = - ln( 1-kx/mvo ) 轨迹方程轨迹方程: : y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvoz = 0§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2 2、平面极坐标系、平面极坐标系 ( (r,φ)r,φ)与直角坐标系关系:(1) ((1) (x , y) → (r ,φ)x , y) → (r ,φ)x = r cosφ y = r sinφvx= vr cosφ-vφsin φ vy= vr sinφ+ vφ cosφr rv vφoxyroφ§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2 2、平面极坐标系、平面极坐标系 ( (r,φ)r,φ)(2) ( (2) ( v vx x , , v vy y ) ) → (→ (v vr r, v , vφ φ) )(3) ( a(3) ( ax x , a, ay y ) ) → (→ (a ar r, a , aφ φ) )作 业已知球坐标系与直角坐标系关系:x = r sin cos y = r sin sin z = r cos  推导球坐标系（r，，φ）中的（1）速度分量（ v r ，v，vφ ）；（2）加速度分量（ a r ，a，aφ ） 。

yxzq1q2q3e e1 1e e2 2e e3 3o3 3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 )例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式 4 4、球坐标系（作业）、球坐标系（作业）CBLAOxyr rdωθ例：细杆 OL 绕 O 点以匀角 速ω转动，并推动小环 C 在 固定的钢丝 AB 上滑动，d 为常数试求小环的速度及 加速度的量值C BAOdωθC C1 1C C2 2rMAφφ φo oφ例：小船M 被水流冲走后 ，用一绳将它拉回岸A边点 假定水速 C1 沿河宽不变 ，而拉绳子的速度则为 C2 如小船可以看成一个质 点，求小船的轨迹mgvPθyxo-b-aat t例：求质量为例：求质量为 m m 小球无摩擦从长轴的端点静止小球无摩擦从长轴的端点静止 滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力 P P5 5、自然坐标系、自然坐标系( (自学自学) )mgvPθyxo-b-aat tmgvPθyxo-b-aat t§1.2 动量定律一、质心R RC C = ∑m= ∑mi i r ri i /∑mi = ∑mi r ri i /M质心定理：质心定理： Mdv vC C /dt2 Md2R RC C /dt2 = F F二、质点组运动的分解：平动平动 + + 转动转动地面参照系地面参照系 质心参照系质心参照系r ri i = R RC C + r ri i’ ’§1.4 动量定律§1.5 克尼希定理。