空间直角坐标系精选.doc

空间直角坐标系一、教材知识解析1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系本书上所指的都是右手直角坐标系 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位相同，，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x、y、z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A（x，y，z）二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5).解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在轴上取横坐标为4的点；（2）将在平面内沿与轴平行的方向向右移动2个单位，得到点；（3）将沿与轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M（如图）。

法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在轴的正半轴、轴的正半轴、轴的正半轴上，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M法三：在轴上找到横坐标为4的点，过此点作与垂直的平面；在轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与垂直的平面；在轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与垂直的平面；则平面交于一点，此交点即为所求的点M的位置技巧总结】：（1）若要作出点M的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点3）若要作出点M的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在轴上取横坐标为的点；再将在平面内沿与轴平行的方向向左（）或向右（）平移个单位，得到点；再将沿与轴平行的方向向上（）或向下（）平移个单位，就可以得到点 M ②以O为一个顶点，构造三条棱长分别为的长方体（三条棱长的位置要与的符号一致），则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M ③先在轴上找到点，过作与垂直的平面；在轴上找到点，过作与垂直的平面；在轴上找到点，过作与垂直的平面，则平面交于一点，此交点即为所求的点M的位置。

变式与拓展】1．1在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A（3，0，0），B（0，0，-3），C（2，3，0），D（4，2，3），E（4，-2，3）题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示例2、如图，在正方体中，E，F分别是的中点，棱长为1，求E、F点的坐标解：法一：E点在点面上的射影为B，B（1，1，0），竖坐标为，F在在点面上的射影为BD的中点为G，竖坐标为1，法二：，E为中点，F为的中点故E的坐标为，F的坐标为【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键2）空间直角坐标系下，点与的中点为【变式与拓展】2．1 、如图，长方体中，OA=6，OC=8，，（1）写出点的坐标2）若点G 是线段的中点，求点G的坐标解：（1）在轴上，且，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点的坐标为（0，0，5）点在平面上的射影是A，点A在轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和相同，所以点的坐标为（6，0，5），同理可得2）由于（0，0，5），B（6，8，0），则的中点G的坐标为（3，4，）2．2、如图，直三棱柱中，，M是的中点，Q是BC的中点，试建立空间直角坐标系，写出B、C、、M、Q的坐标。

解：分别以AB、AC、A所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，（如图），则B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，2，1），Q（1，1，0）2．3、已知P（2，1，3），求M关于原点对称的点，M关于平面对称的点，M分别关于轴、轴对称的点解：由于点M与关于原点对称，即原点是点M与的中点，所以（-2，-1，-3）；点M与关于平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以（2，1，-3）；M与关于轴对称，则的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为M的相反数，即（2，-1，-3），同理（-2，1，-3）三、基础练习1、点在空间直角坐标系中的位置是在（　　）Ａ．轴上　　Ｂ．平面上　　　Ｃ．平面上　　　Ｄ、平面上 解析：由于纵坐标为0，故在平面上2、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D．（4, -1, 2)3、在空间直角坐标系中，点，过点作平面的垂线，则的坐标为（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：由于垂足在平面上，故竖坐标为04、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ） A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称　 C．关于坐标原点对称 D．以上都不对 解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于xOy平面对称5、已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D的坐标为 解析：根据中点公式，AC的中点为G（，4，-1），又BD的中点也是G，6、如图，长方体中，，，，于相交于点．分别写出，，的坐标．解：点C在轴上，且，故C，点在面的射影为B，且竖坐标为3，故，点P在面的射影为矩形OABC的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形OABC的长和宽的一半，竖坐标和的一样，故P。

四、达标训练1、在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5)2、在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述： ①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z） ③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z） ④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是 （ ） A．3 B．2 C．1 D．03、如右图，棱长为3a正方体OABC－，点M在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为 ．4、若三棱锥P-ABC各顶点坐标分别为P（0，0，5），A（3，0，0）， B（0，4，0），C（0，0，0），则三棱锥的体积为 5、如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC， ，，，建立如图坐标 系，求AB中点E的坐标 _ _ 6、已知一长方体的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A（-2，-3，-1），求其他七个顶点的坐标。

7、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为，棱PD⊥底面ABCD，，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D－xyz．则因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，8、四棱锥中，底面是边长为4且的菱形，顶点V在底面的射影是对角线的交点O，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标解：由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO,AO,BO两两互相垂直，所以以分别以OA,OB,OV所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）菱形ABCD中，AB=4，且，则OA=2,OB=，而A,B,C,D,V都在坐标轴上，且A（2，0，0），B，C(-2,0,0), D,V（0,0,3）2．3．2 空间两点间的距离一、教材知识解析1、空间两点的距离公式：一般地，空间中任意两点的距离为2、空间中点的轨迹常见的点的轨迹方程有：（1）方程表示以点为球心，为半径的球2）方程在空间坐标系中表示旋转轴为轴的圆柱面，且到轴的距离为二、题型解析题型一、直接利用两点间的距离公式解决有关问题。

例1、求下列两点间的距离：（1）A（1，1，0），B（1，1，1） （2）C（-3，1，5），D（0，-2，3）解：（1） （2）【技巧总结】：使用两点间距离公式时，一定要注意公式中坐标的对应，同时注意符号变式与拓展】1．1 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），试判断的形状解： 因此是直角三角形1．2 在空间直角坐标系中，解决下列各题：（1）在轴上求一点P，使它与点（4，1，2）的距离为；（2）在平面内的直线上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小，并求出最小值解：（1）由于点P在轴上，所以设， 或 所以点P的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0） （2）由已知可设，则 所以当时，，此时点M（1，0，0）1．3 求到点A(1 , 0 ,1)与点B(3 , -2 , 1)距离相等的点P的坐标满足的条件解：设点P的坐标为(x ,y , z) , 则, 化简得4x-4y-3=0即为所求.题型2、空间直角坐标系和两点间距离公式的综合应用例2、正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=。

当为何值时，MN的长度最短？解：平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，平面ABCDAB、BC、BE两两互相垂直，所以以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则所以当时，|MN|最短为，此时，M、N恰好为AC，BF的中点技巧总结】：考虑到几何图形中出现了两两互相垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式可以求得线段MN的长度，并利用二次函数的最值，求出MM的长度的最小值体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用变式与拓展】四棱锥S-ABCD的底面是矩形，，AD=2，SA=1，且底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的P，使得是直角，求的值最大值解：以A为原点，射线AB，AD，AS分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、S（0，0，1）、D（0，2，0）设是直角，即，当时，的最大值为1三、基础练习：1、若已知A（1，1，1），B（－3，。