不等式中级水平必备.pdf

第第 1 页页 不等式中不等式中级级水平必水平必备备 一、一、幂幂平均不等式平均不等式 1、 、幂幂平均函数平均函数： ：设设， ，则则幂幂平均函数平均函数定定义为义为： ： ,,., 12n xxx0  ； ； ( ). n 12n M 0x xx ( )1 . ( ) 1 rrr r 12n xxx M r n                    ( )2 这这两个式子称两个式子称为为幂幂平均函数平均函数. ( )1 ( )2 2、 、幂幂平均不等式平均不等式： ：幂幂平均函数平均函数在在实实数空数空间间是是连续连续且且单调递单调递增的增的. 利用其增减性得到的不等式称利用其增减性得到的不等式称为为幂幂平均不等式平均不等式. 3、在、在点的点的证证明：明：设设函数函数 r0  . ( )ln rrr 12n xxx f r n                  则则： ： lnln.ln '( ) . rrr 1122nn rrr 12n xxxxxx fr xxx           于是：于是： lnln.lnln(.) '( )ln. . 000 1122nn12n n 12n 000 12n xxxxxxx xx f0x xx n xxx             即：即： ①① ln. '( ) . n 12n x xx f0 n 12n eex xx   而：而： . ( ) 1 rrr r 12n xxx M r n                    则则： ： .( ) ln( )ln rrr 12n xxx1f r M r rnr                   故：故： ( )( )( ) ln( )lim ln( )limlim'( ) r0r0r0 f rf rf 0 M 0M rf0 rr0          则则： ： ②② '( ) ( ) f0 M 0e  将将①①代入代入②②得：得：. 式式证毕证毕. ( ). n 12n M 0x xx ( )1 二、二、幂幂平均不等式的推平均不等式的推论论 第第 2 页页 1、在、在点：点：由由式得：式得： r1   ( )2 . () . 1 111 12n n 111 12n xxxn M1H n xxx                                   ( )3 故故的的幂幂平均平均值值是是调调和平均和平均值值. r1    2、在、在点：点：由已由已证证明明过过的的式：式： r0 ( )1( ). n 12nn M 0x xxG  ( )4 故故的的幂幂平均平均值值是是几何平均几何平均值值. r0  3、在、在点：点：由由式得：式得： r1 ( )2 ( ) 1 111 1 12n12n n xxxxxx M 1A nn                       ( )5 故故的的幂幂平均平均值值是是算算术术平均平均值值. r1  4、在、在点：点：由由式得：式得： r2 ( )2 ( ) 1 222222 2 12n12n n n xxxxxx M 2Q nn                       ( )6 故故的的幂幂平均平均值值是是平方平均平方平均值值. r2  5、推、推论论： ：根据根据幂幂平均函数平均函数在在实实数空数空间间是是连续连续且且单调递单调递增，增， 由由可得：可得： r1012      nnnn HGAQ   ( )7 当且当且仅仅当当时时取等号取等号. . 12n xxx    以上是由以上是由幂幂平均不等式平均不等式推推导导的的均均值值定理定理，在，在处处理更高次方理更高次方时时，即，即时时， ，式仍适式仍适r2 ( )2 用用. 三、加三、加权权不等式不等式 1、 、加加权权不等式不等式： ：若若，且，且， ，则则就是就是权权重，重， 12n 0 1,,.,[ , ]    . 12n 1        i   当当（ （） ）时时，恒有：，恒有： k a0 , ,.,k1 2n  n12 1 12 2n n12n aaaaaa               ( )8 成立成立. 第第 3 页页 式就是式就是加加权权不等式不等式. ( )8 2、 、对对时时： ：此此时时式式为为： ： n2 ( )8 12 1 12 212 aaaa          取取，上式，上式变为变为： ： 12 1 2      12 1 2 aa a a 2     这这是二元的是二元的均均值值不等式不等式. 3、 、对对时时： ：此此时时式式为为： ： n3 ( )8 312 1 12 23 3123 aaaaaa              取取，上式，上式变为变为： ： 123 1 3        123 3 1 2 3 aaa a a a 3      这这是三元的是三元的均均值值不等式不等式. 4、 、评评价：价：此此加加权权不等式不等式为为均均值值加加权权，由于，由于权权重重的灵活配置，的灵活配置，加加权权不等式不等式比比均均值值不等式不等式  更加灵活，也更加高效更加灵活，也更加高效. 四、加四、加权权琴生不等式琴生不等式 1、 、琴生不等式琴生不等式： ：对对于于向下凸函数向下凸函数，函数的均，函数的均值值不小于均不小于均值值的函数的函数值值.用数学式子表达用数学式子表达为为： ： ()().(). () 12n12n f xf xf xxxx f nn         ( )9 左左边边是函数的平均是函数的平均值值，右，右边边是平均是平均值值的函数的函数值值. 对对于于向上凸函数向上凸函数，只需在函数前面加一个，只需在函数前面加一个负负号就可以直接采用号就可以直接采用式式. ( )9 2、 、加加权权琴生不等式琴生不等式： ：若函数若函数在在区区间连续间连续，且在，且在区区间为间为向下凸向下凸(,,.,) 12n f xxx[ , ]a b( , )a b 函数函数，若，若，且，且， ，对对于一切于一切， ， 12n 0 1,,.,[ , ]    . 12n 1       ,,.,( , ) 12n xxxa b  则则： ： ().()(.) 11nn11nn f xf xfxx         ()10 当当时时， ，式就化式就化为为式式. . 12n 1 n        ()10( )9 因此，因此，式是更普遍的式是更普遍的琴生不等式琴生不等式. ()10 3、推、推论论： ：设设函数函数，在区，在区间间时时， ，是一个是一个连续连续函数，函数，则则： ： f[ , ]a bR f ⑴⑴ 对对一切一切，恒有：，恒有： ,[ , ]x ya b ( )( )() 11xy f xf yf 222     ()11 第第 4 页页 ⑵⑵ 对对一切一切， ，，恒有：，恒有： ,[ , ]x ya b ( , )0 1   ( )() ( )(() )f x1f yfx1y         ()12 4、向下凸函数判据：、向下凸函数判据：设设函数函数，在区，在区间间时时， ，是一个是一个连续连续函数函数. f[ , ]a bR f ⑴⑴ 如果如果成立，成立，则则为为向下凸函数向下凸函数. ( )( ) () f xf yxy f 22     f ⑵⑵ 如果如果， ，则则为为向下凸函数向下凸函数. ''( )fx0 f 五、柯西不等式五、柯西不等式 1、 、柯西不等式柯西不等式： ：设设为实为实数，数，则则： ： ,,.,,,,., 12n12n aaab bb 22222 1n1n1 1n n aabba ba b(.)(.)(.)       ()13 这这就是著名的就是著名的柯西不等式柯西不等式. 2、推、推论论 1： ：设设， ，， ，则则： ： ,,., 12n aaa0 ,,., 12n b bb0  (.)(.). 12n12n1 12 2n n aaabbba ba ba b          ()14 3、推、推论论 2： ：设设， ，， ，则则： ： ,,., 12n aaa0 ,,., 12n b bb0  (.) . . 2222 n12n12 12n12n aaaaaa bbbbbb              ()15 式被称式被称为为权权方和不等式方和不等式. ()15 4、推、推论论 3： ：设设， ，， ，则则： ： ,,., 12n aaa0 ,,., 12n b bb0  .(.) . 2nn1212 222 12n12n 12n aaaaaa1 aaabbb bbb             ()16 5、推、推论论 4： ：设设， ，， ，则则： ： ,,., 12n aaa0 ,,., 12n b bb0  (.) . . 2 n12n12 12n1 12 2n n aaaaaa bbba ba ba b             ()17 六、伯努利不等式六、伯努利不等式 1、 、伯努利不等式伯努利不等式： ：设设， ，则则： ： ,,., 12n xxx1    ()().(). 12n12n 1x1x1x1xxx        ()18 2、当、当时时： ： ,., 12n xxxx     第第 5 页页 ()n1x1nx   ()19 可可见见， ，式是式是式的特例，式的特例，式更普遍式更普遍. ()19()18()18 七、切七、切线线法不等式法不等式 即：即：设设限法限法 1、 、切切线线法法： ：设设为实值为实值向下凸函数，向下凸函数，， ， ，直，直线线与与相切相切( )f x,m nR (, )xm n yaxb  f 于于，假，假设设：在：在区区间间，始，始终终有：有： (, )m n(, )xm n  ( )f xaxb  ()20 则则： ：式就称式就称为为切切线线不等式不等式. ()20 当当时时，前面加，前面加负负号就可以采用号就可以采用式式 ( )f xaxb  ()20 2、 、指数不等式指数不等式： ： （ （） ） x ex1  x1    函数函数为为： ：， ，为为向下凸函数向下凸函数. ( ) x f xe  则。