【7A文】行列式典型例题.doc

MeiWei_81重点借鉴文档】第二讲行列式综合训练第一部分例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．=解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式．==-方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．=-方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式．+而==-=-方法4利用公式=．将最后一行逐行换到第2行，共换了次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了次．===-方法5利用公式=．例2.2计算n阶行列式：()解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．=这个题的特殊情形是=可作为公式记下来．例2.3计算阶行列式：其中．解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式其中，于是．方法2升阶（或加边）法方法3递推法．将改写为+由于因此=为递推公式，而，于是======例２.4设，证明存在使.证因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,且,由罗尔定理知,存在,使.例2.5计算=．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．（+）其中　　==由于是范德蒙行列式，故==方法2其中，==方法3用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：=按第5列展开得到的是的4次多项式，且的系数为又利用计算范得蒙行列式的公式得=　　==其中的系数为由的系数相等得：=例2.6设，计算A41+A42+A43+A44=?其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将改写为，故A41+A42+A43+A44==例2.7求解方程:解方法1=由题设知所以是原方程的解.方法2由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成于是原方程的解为:例2.8计算元素为aij=|i－j|的n阶行列式.解方法1由题设知，=0，，，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．方法2=例2.9计算行列式．解方法1按第一列展开：-=-=（-=（-（-方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：=（（例2.10计算=，其中未写出的元素都是0．解方法1利用公式=．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作次相邻对换），得到=======方法2利用行列式展开定理进行求解．+上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以====例2.11计算．解方法１采用递推的方法进行求解．+即，，，故方法2采用降阶的方法进行求解．=例2.12证明D==证方法1递推法按第1列展开，有D=RD+（－1）a=RD+a由于D=R+a，，于是D=RD+a=R（RD+a）+a=RD+aR+a==RD+aR++aR+a=方法2第2列的R倍，第3列的R倍，，第n列的R倍分别加到第1列上===f其中或D==f其中方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．DRk=R(++++a+R)=方法4++++=（－1）（－1）a+（－1）（－1）aR++（－1）（－1）aR+（－1）(a+R)R=例2.13计算n阶“三对角”行列式D=解方法1递推法．DD—D－D即有递推关系式D=D－D(n3)故＝递推得到＝＝＝＝而，＝＝，代入上式得（2.1）由递推公式得＝＝αD＋＝＝＋＋＋＝方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式=β于是得递推公式，已与（2.1）式相同．方法3在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D==-2==于是猜想，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．当n=k+1是，由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14设A为3×3矩阵,|A|=－2,把A按行分块为,其中是A的第行,则行列式______.解==例2.15判断题(1)若是可乘矩阵，则．（）(2)若均为阶方阵，则．（）解(1)错误，因为不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2)错误，例如取，，．例2.16证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证(n为奇数).所以|A|=0.例2.17（数四，01，3分）设矩阵，且秩3，则= 解由于===由3，知=0，而时，1，故必有．例2.18若，均为3阶可逆方阵，，，计算．解　====2例2.19设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中．解由，得，即由于，，所以．例2.20设为3阶方阵，=2，求的值．　　解方法1化为关于的形式进行计算．利用公式，，有=======方法2化为关于的形式计算．利用公式，，=，有====例2.21（数四，98，3分）设均为阶方阵，=2，=-3，求的值．解====例2.22若都是4维列向量，且4阶行列式，，计算4阶行列式的值．解如果行列式的列向量组为，则此行列式可表示为，利用行列式的性质，有+=-=+=例2.23计算行列式，其中，解=这是逆对角的上三角行列式，所以又，故．注这里用了公式：若为阶方阵，为阶方阵，则=．例2.24若为阶方阵，为单位矩阵，满足，，求．解方法1由有======即=0，而，所以=0．方法2因为===即=有=0，而，所以=0．方法3由知矩阵为正交矩阵，即=1，=1，又因为，所以有，故===即2=0，=0．例2.25若为阶正定矩阵，为阶单位矩阵，证明的行列式大于1．证方法1因为为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设的个特征值为，且，由特征值的性质知，的个特征值为，于是．方法2因为正定矩阵是对称矩阵，因此可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵有（）即===例2.26设，求解利用特征值法进行求解，即利用公式．=+==矩阵的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为=，=0所以特征值为，故=．【MeiWei_81重点借鉴文档】。