两相流动的基本方程.pdf

研究生课程：气液两相流理论两相流动的基本方程中国石油大学（北京）石油天然气工程学院檀朝东tantcd@138013312551.1均相模型1.2分相模型2.解析模型基本方程1.两相流动的基本方程2.1二流体模型2.2混合模型2.3滑移模型、扩散模型、漂移模型1.1均相模型均相模型把两相介质看成均匀介质，介质的参数取两相平均参数，然后根据单相均匀介质建立两相流基本方程下面只讨论两相流均相流模型的动量方程l 单相流的动量方程：摩擦剪切应力是线性的，)(11 rurrrzpgzuu zzz ∂∂∂∂+∂∂−−=∂∂ nr0= rRtt 0 zRurtm∂=−∂1.1均相模型单相流的动量方程可以写成：上式可见，流道压降由三部分组成：摩擦压降加速压降重力压降021 ()zurrrrRtm ∂∂ =∂∂02 zzup ugzRzt rr∂∂−=++∂∂0024FpzRDtt∂−==∂a zzzp uuuGzzzr∂ ∂∂−==∂∂∂gp gz r∂−=∂1.1均相模型用两相流的混合流速U和混合密度 代替单相方程中的 和 ，这样就可得到两相流均相模型的动量方程形式为：也需要按两相参数处理，其中，Re与都需取描述两相流的平均数值。

均相模型属于经验模型范畴cmrzu r0t m02cmpUGgzRzt r∂∂−=++1.2分相模型分相模型是把两相分成两种单相流动（气相和液相）介质参数分别取各自的介质参数，分相模型也是一种经验模型1.连续方程液相入流面：液相出流面：气相转化为液相的量：lMlldMMdz+ dzlidWC1.2分相模型则液相连续方程为：为液相单位面积质量流量液相连续方程可写为：式中： 为液相界面效应； 为其周界；α为空泡率0llllidMMMdWCdz−+=dz)+(1)llllMuAAGra=−=lG[(1)]+=0l lid uAdzdWCdz ra−ldW iC1.2分相模型同理，气相连续方程为：其中， 为气相界面效应，而且；为潜热（KJ/Kg）;q为热流密度（ ）[]+=0g gid uAdzdWCdz ra/gldWdWql=−=2/kWmgdWl1.2分相模型气液相连续方程相加，界面效应抵消，可得：分相模型中各相本身的方程存在界面效应，当分相方程合并成两相方程后，界面效应将不再存在，这是分相模型的缺陷[(1)][]0l ggdduAuAdzdzrara−+=1.2分相模型2.动量方程液相入流面：动量： 压力：液相出流面：动量： 压力：管壁剪切应力：相间切应力：重力分量：忽略了界面质量变化引起的动量项。

llMu (1)pAa−(+llllMdMudu+ )( ） (1)((1))dpApAdzdzaa−−+−00llCdzt−iiCdzt(1)cosl Agdzraq−−1.2分相模型根据动量定理，可以得出：整理上式：00(1)[(1)((1))](1)cos(+llliilllllldpApApAdzdzAgdzCdzCdzMdMuduMuaaaraqtt−−−+−−−−+=+)( ）-00(1)(1)cos1 [(+]lliilllllllCCdp gdzAAMdMuduMuAdzttaraq−−−−−+=+)( ）-1.2分相模型同理：气相动量方程为：式中： 分别为气相、液相所接触的流道壁面周界，且 ， 为流道壁面总周界， 为界面周界气液相动量方程相加，且 ，可得：00cos1 [(+]gg iigggggggC Cdp gdzAAMdMuduMuAdzt taraq−−−−=+)( ）-00,glCC000glCCC+= 0CiC000lgttt==1.2分相模型等截面流道，00 [(1)]cos1 ()gll ggCdp gdzAdMuMuAdzt raarq−−−+−=+(1)lllMAura=−gggMAura=2200 cos((1))cmllggCdpduudzAdzt rqrara−−−=−+1.2分相模型则：X-质量气流率/()gguGx ra=(1)/[(1)]lluGxra=−−22200 (1)cos()(1)cm lgCdpdxxgGdzAdzt rqrara−−=+++1.2分相模型摩擦压降：加速压降：重力压降：可以看出，两相流和单相流是相似的。

0000222F CRdpdzARRttptp−===222(1)()(1)algdp dxxGdzdz rara−−=+cosg tpdp gdz rq−=1.2分相模型3.能量方程：分相模型的能量方程，不考虑界面效应，只考虑每一相的作用热力学第一定律：由热力学第一定律可得：dUQWdd=+UQW∆=+2(/2)sinqWdhdugdzq−=++其中，h为混合物比焓；W为对外做的功；q为外界对体系的传热；1.2分相模型e为比热学能，F为体系耗散功体系不对外做功，w=0, 而 可得：对z求导得：+dhdedpvdF=+qdepdv=+2(/2)sin0vdpdFdugdzq+++=21 (/2)sin0dpdFdugdzdzdz qr +++=2(/2)sin0dpdFdugdzdzdzuq+++=1.2分相模型利用质量含气率x对动能加权：代入分相模型两相流能量方程得：222223322 22(1)(1)()(1)(1)(1)(1)glglgluxuxuG GxxxxxGraraarar=+−−=+−−−=+2332 221(1) sin(1)gldpdFGdxxgdzdzdz qrarar−−=+++1.2分相模型能量方程包含三个部分，等号右侧第一项为能量耗散部分（并不完全等于前面动量方程中摩擦压降所造成的能量损失）；第二项为介质动能部分；第三项为介质位能部分。

整个过程中，密度不变（x不变或等温流动），则能量方程变为：2332 22(1) sin(1)gldpdFGdxxgdzdzdzr rqarar−−=+++1.3总结由以上推导可见，不管是均相模型还是混合后的分相模型，都没有反映出界面效应它们不能用来研究流场中的局部特性，而只能研究流道的整体特性，或流道的对外效果在工程中，有许多程序采用这种经验模型使用分相模型时，对两相流摩擦阻力系数和空泡份额还需建立结构式2.解析模型基本方程2.1二流体模型单相流体连续性微分方程：设k代表相的角码（k=g,l）,相的数目再多时，k可取1，2，3…，可以写出每相的连续性微分方程为：()() ()+0yx zuu ut yzrr rr ∂∂ ∂∂ ++=∂∂∂∂()0utr r∂ +∇⋅=∂()0k kkutr r∂ +∇⋅=∂2.1二流体模型l 纳维-斯托克斯方程式（动量方程）三维坐标下，单相流体x,y,z方向的动量微分方程为：其中，X，Y，Z,分别为x,y,z轴所受的质量力1 ()yxx zxxpduXxyzdtt tr∂∂∂+−++=∂∂∂1()xyy zyypduYxyzdtttr∂∂∂++−+=∂∂∂1()yzxz zzzpduZxyzdtttr∂∂ ∂+++−=∂∂∂2.1二流体模型质量力只有重力时，N-S方程的矢量式为()du pITgdtrr=−∇⋅+∇⋅+zdzduudyduudxduutuydzduudyduudxduutuxdzduudyduudxduutudtduzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxxvvv)()()(rrrrrrrrrrrrr+++∂∂++++∂∂++++∂∂=duuuudttrrr∂=+∇⋅∂ （）2.1二流体模型N-S动量方程可变为：则每一相的动量方程为：式中： 为相速度向量； 为相压力标量I 为单位张量； 为剪应力张量；为重力加速度向量。

)u uupITgtrrr∂ +∇⋅−∇⋅+∇⋅+∂ （）=()kkkkkkkkku uupITgtr∂ +∇⋅−∇⋅+∇⋅+∂ （）ku kpkgkT2.1二流体模型3.能量方程式中： 为比热力学能标量22(+)[(+)][()]kkkkkkkkkkkkkuueeuqtpITugur rr∂ +∇⋅=−∇⋅∂+∇⋅−+⋅+⋅ke2.1二流体模型在流场中，除了k相以外，还存在相间界面区，如果认为每一相区中，介质特性和单相流一样是连续的，那么界面区则对每一相都不连续为了描述整个流场特性，建立界面特性基本方程，与相特性相同，界面特性是以界面区域均一特性为基础的为界面区内两相的界面； 为 的单位向量（法向量）；12aa，12,nn 12aa，2.1二流体模型为界面总厚度之和，通常；N为封闭端面的单位向量；为封闭端面； 为与 的交线界面控制体为 与 所包围的体积 ；如果认为 很小，则 ，对控制体 的积分特性为：12ddd=+ 12dd=i∑i∑iziaiai∑ iVd 12nn=− iV1221[()][()]ikiii kkikkkkVaii iiVd dVnuuTdadtNuuTd dVdzdrjrjrjdzrf=−⋅−+−⋅−++∑∫∫∫2.1二流体模型式中 与 为流场特性参数和流场体积源。

界面特性方程也是三个（质量方程，动量方程，能量方程）l 对质量方程l 对动量方程l 对能量方程 按不同情况决定上始终T为针对流场特性的流出率（ef lux）;为相速度向量把上式经过体积分和面积分的变换（雷诺转换和格林变换）以及必要的简化，最后可得出三个基本方程j f1,0jf==,ugjf==2,eujf=+ku2.1二流体模型假设 则质量守恒方程中 ，则质量方程对V的积分均为零则：进行一维处理，可以得出界面质量方程为：0d = 1,0,0iikTjf===21[()]0kkkikkkkanuuTdarj=⋅−+=∑ ∫()()ggigllilglnuunuunnrr⋅−=−⋅−=−，()()gigliluuuurr−=−2.1二流体模型动量守恒方程式同样进行处理，其中，,可以得出界面动量方程为:能量方程式中，得出界面能量方程式为：,,0iiikugTjf==≠()()gigggglillluuupuuprtrt−+−=−−+2 2,,ikkikkkkkkkuuguTqpuujft=+==−+22()(2)()(2)ggigggggggllillllllluuUuuuquuUuuuqrrtrt−+−++=−−+−++2.1二流体模型这样，就可得出三个界面方程，前面气液两相得出六个基本方程（连续，动量，能量方程），九个方程可以耦合成三组描述两相流场的基本方程组。

这三组方程是单独描述气相、液相和界面的，它们是不连续的，不能直接求解，要达到求解的目的，必须把它们连续化，使其成为类似单相流体的连续方程组2.1二流体模型所谓连续化，就是用平均的方法，把方程改造成一定的平均尺度内既保留原流场（不连续）的起伏变化特性，又表现出连续性如右图，某个特性参数（或数组方程，包括代数方程或微分方程）ψ在原流场中是不连续的，如折线A所示经过平均后，便成B这里的平均，可以按时间间隔进行，称为时间平均也可以按空间（长度，面积，）间隔,成为空间平均2.1二流体模型不管是按时间（t）或按空间（z,A,V）进行平均,其平均尺度 （或 ）的选取，都必须满足前面提出的原则：l 在最大尺度内需保证平均后仍保留原流场的波动特性；l 在最小尺度内，要达到必要的连续特性尺度过大，平均后成为一条水平线，失去意义；尺度过小，仍保留原流场的不连续的跳跃特性，都不能满足要求tz∆∆ ,AV∆∆2.1二流体模型如果把相方程用 代表，界面方程用代表,则以时间平均为例，平均后的特性方程应为：式中， 为时。