专升本高数(一)(A)+答案.pdf

第 1 页，共 6 页高等数学（一）试卷 A 一、填空题：1. 当x时，函数)( xf与x1是等价无穷小，则lim 2()_xxfx2. 设函数)( xf在1x可导 , 且2)1(f，则_1)1()34(lim1xfxfx3. 设xexy22，则_)50(y4. 函数xxfcosln)(在49,47上满足罗尔定理的点_5. 已知)( xf的一个原函数为xxe，则10()_xfx dx6.函数)1ln()(xxxf的单调减少区间为_7. 通过点)3,2,1(且与直线1223tztytx垂直的平面方程为_8. 设yxxyz32，则_2yxz9. 改变积分次序21220010(,)(,)_xxdxfx y dydxfx y dy10. 微分方程02 ydxxdy满足12xy的特解是_二、选择题：11. 设函数)( xf有二阶连续导数，且1)(lim,0)0(0 xxffx， 则（）（A ）)0(f是)( xf的极小值；（B）)0(f是)(xf的极大值；（C）)0(,0(f是曲线)( xfy的拐点；（D ）)0(f不是)( xf的极小值，)0(,0(f也不是曲线)(xfy的拐点12. 下列积分中，哪一个广义积分是发散的（）（A ）121dxx； （B）141dxx； （C）0sin xdx；（D ）dxex013. 平面032zyx与空间直线121131zyx的位置关系是（）（A ）互相垂直；（B）互相平行但直线不在平面上；（C）既不平行也不垂直；（D）直线在平面上14. 级数0nnnxa在2x处收敛，则该级数在1x时 ( ) （A ）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）敛散性无法确定。

第 2 页，共 6 页15. 设()yy x在点x处的增量为1yyxx， 且当0 x时，是x的高阶无穷小，(0)1y， 则( 1 )y的值为（） A）1；（B） 0 ；（C）1 ；（D）2三、计算题： 16. )3sin(3lim33xxxx 17. 1)1232(limxxxx 18. 设)3()2(yxyxz，求dz19. 设z是由方程0)sin(zxeyx所确定的yx,的函数，求yzxz,20. 计算Ldyxyydxx22，其中L是上半圆周：0,222yayx，方向从)0,()0,(aAaB21. 计算xdxdydz，其中：三个坐标平面与平面1zyx所围成的闭区域22. 求微分方程xeyyy332的通解四、 解答题： 23. 判定级数),0(!1eaanannnn的敛散性 24. 求幂级数1nnnx的收敛域及和函数25. 已知0,0,cos)(20 xxxtdttxfx，讨论)( xf的连续性，并写出连续区间；考察在0 x处)( xf是否可导？若可导，求)0(f五、应用题26. 设函数()fx在0,1上连续，在(0,1)内大于零，并满足微分方程23()()(2xfxfxaxa为常数）。

又曲线()yfx与1,0 xy所围图形的面积为2，求函数()fx，并问a为何值时，图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小六、证明题： 27. 设)( xf是连续函数，证明：0)1()11(12dxxxfxnn高等数学（一）试卷参考答案（A卷）一、填空题1. 2)(2limxxfx 2. 61)1()34(lim1xfxfx 3. xe2502 4. 2. 5. edxxfx10)( 6. 单调减少区间为)0, 1(7. 01023zyx 8. 2232xyyxz第 3 页，共 6 页9. yyxxdxyxfdydyyxfdxdyyxfdx2102021010),(),(),(210. 特解是24xy二、选择题11. A； 12. C； 13. D ； 14. B； 15. D 三、计算题16. )3sin(3lim33xxxx=)13(ln27)3ln2727(13ln33lim23xxx17. 22123111)211()231(lim)1232(limeeexxxxxxxxx18.vuzyxvyxu,3,2(1 分) )2ln()2(3)3()2()ln3()3(ln)2ln()2()3(2)2()ln2(ln213111311yxyxyxyxuuvuuuvuyvvzyuuzyzyxyxyxyxuuvuuuvuxvvzxuuzxzyxvvvyxvvv19.)cos()sin()sin(),(zxezxeFzxezyxFyxyxxyx；)s in (zxeFyxy；)c o s (zxeFyxz；于是1)tan()cos()cos()sin(zxzxezxzxeFFxzyxyxzx；)t a n ()c o s ()s i n (zxzxezxeFFyzyxyxzy；dyzxdxzxdyyzdxxzdz)tan(1)tan(。

20. 解:补充直线)0,()0,(:aaAB,使ABL构成封闭曲线L. 402022224)(ardrrddxdyxydyxyydxxaDL; 第 4 页，共 6 页而0022yABdyxyydxx, 所以42222224)(adyxyydxxdxdyxydyxyydxxABDL. 21xyxxdyyxdxxdzdydxxdxdydz1010101010)1(1010232241)2(21)1(21dxxxxdxxx. 22. 解：特征方程3,10)1)(3(032212rrrrrr; 所以，齐次方程的通解为xxeCeCY321又3是特征方程的单根，故可设非齐次方程的特解xAxey3*；代入方程，得41A所以特解xxey3*41所以微分方程的通解：xxxxeeCeCy332141四、解答题（每题8 分，共 24 分）23. 解：aenannaannuunnnnnnnnnn)11(lim1)!1(!)1(limlim111；当ea时，1lim1aeuunnn，所以级数收敛且绝对收敛当ea时，1lim1aeuunnn，所以级数发散7. 解： 1）收敛半径11limnnRn，且在1x时，级数发散，所以收敛域为)1, 1(。

2）设收敛域内和函数为)( xS，于是)( xS21111)1()1()(xxxxxxxnxxnxnnnnnn25 解：0lim)(lim,0coslim)(lim200000 xxftdttxfxxxxx，第 5 页，共 6 页)0(0)(lim0fxfx，)( xf在0 x点连续又)( xf在(, 0)和(0,)内连续，故其连续区间为),(01c o slimcoslim0)0()(lim0000 xxxtdttxfxfxxxx；00lim0)0()(lim200 xxxfxfxx；于是00)0()(lim)0(0 xfxffx，所以)(xf在0 x处可导，且0)0(f五、应用题解： 1）当0 x时，()3()3()()22fxfxfxaxfxaxxx，即为一阶线性微分方程此时axxqxxp23)(,1)(于是，232323)(ln)1()1(cxaxcdxaecdxeaxexfxdxxdxx；又因为()fx在0,1上连续，所以，)0(0)(lim0fxfx，即0)0(f，曲线过原点所以，1,023)(2xxcxaxf2）又由已知条件得：caxcxadxcxxa2121)22()23(21023102，即acca44。

因此1 ,0)4(23)(2xxaxaxf3）1022102)4(23)(dxxaaxdxxfVxdxxaxaaxa)4()4(34922342101032452)4(31)4(43209xaxaaxa)4(31)4(4320922aaaa)4(322332018)(aaaVax，令0)(axV，又015)(5axV，所以当5a时旋转体的体积最小六、证明题第 6 页，共 6 页27. 证：令xxt1，nnnntnnx11:,1:，dxxdt)11(2于是0)()1()11(1112nnnnnndttfdxxxfx。