二重积分概念与性质79352.ppt

第八章 重积分 二、三重积分的计算与应用 第一节 二重积分的概念和性质 我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限.由于科学技术和消费理论的开展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题 当人们把定积分解决问题的根本思想“分割、近似代替、求和、取极限用于解决这类问题时发现是完全可行的把解决的根本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学 详细地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分这就是多元函数积分学的内容本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用Def:1、几何体的直径在区域内任意两点间的间隔 的上确界比方：平面上矩形的直径为对角线的长度；球体的直径就是其本身的直径Def:2、可求面积的对平面图形：在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分给定闭区域D，该组正交直线网把平面划分成许多小矩形，这些小矩形可分为三类：1、矩形的点都是D的内点；2、都是D的外点；3、含有D的边界点。

将属于第1类的矩形面积求和记为s将全体1、3类矩形面积求和，记为S，那么s和S都和直线网的划分有关，对不同的划分，s和S一般的不会相等记d=max矩形直径假设d0时，相应的有S-s0.我们就称该平面区域D是可求面积的Def:3、可求体积的立体用三族互相垂直的平面截取几何体，与定义2中一样递推即可求非均匀物体的质量问题，假设问题的密度函数fM是点M的连续函数： 1、质量分布在一根直线段AB上，在定积分概念与计算中：其质量等于f(M)的定积分2求平面薄片的质量将薄片分割成假设干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量柱体体积=底面积 高特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.高是变化的3曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、以常代变、求和、取极限的方法，步骤如下：2、用假设干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，1、先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，作小平顶柱体，并求体积3、曲顶柱体的体积4:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值准确值非匀质 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续挪动时,切平面也连续转动.对上面五种情况：各自详细的对象不同，但归结为处理同一种形式的和的极限问题，概括地给出下面定义：Def: 有界闭区域 上黎曼积分定义：设 为一几何形体，它是可度量的，在该几何体上定义一函数f(M), ，将 分为假设干可度量的小块 ，并把它们的度量大小仍记为 ，并令 为最大直径；在每小分块 中任取一点 ，做和式黎曼 和数/积分和数 ，假设该和式不管对 的怎样划分以及 在 上如何选取，只要 时恒有同一极限 ，那么称此极限为f(M)在几何形体 上的黎曼积分。

记为 ：根据几何形体的详细形式，可分别给出各几何形体上的积分的详细表达式及名称： 1、假设为一块可求面积的平面图形 D ，那么 D 上的积分称为：二重积分直角坐标系下记为：2、假设为一块可求体积的空间几何体 V, 那么在 V 上的积分称为：三重积分直角坐标系下记为：3、假如是一条可求长的空间曲线L，那么在L上的积分称为：第一类曲线积分记为：4、假如是可求面积的曲面块S,那么 S上的积分称为：第一类曲面积分记为：二、二重积分的概念积分区域积分区域积分积分和和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值3有界闭域D上的有界函数f(x,y)假设只在有限条曲线连续.在其余的点都连续，那么f(x,y)是可积的 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D D那么面积元素为叫做直角坐标系中的面积元素性质当 为常数时，性质二重积分与定积分有类似的性质三、二重积分的性质性质对区域具有可加性性质 若 为D的面积，性质 假设在D上特殊地那么有性质性质二重积分中值定理二重积分估值定理解解：解：解0y x112x + y =1x + y 1由二重积分的性质更确切的I1 I2二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义曲顶柱体的体积和式的极限四、小结。