曲线拟合与插值理论与实例.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑曲线拟合与插值理论与实例 第11章 曲线拟合与插值 在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务对这个问题有两种方法在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的处境这种方法在下一节议论这里议论的方法是曲线拟合或回归人们设法找出某条光滑曲线，它最正确地拟合数据，但不必要经过任何数据点图11.1说领略这两种方法标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最正确拟合 11.1 曲线拟合 曲线拟合涉及回复两个根本问题：最正确拟合意味着什么？理应用什么样的曲线？可用大量不同的方法定义最正确拟合，并存在无穷数目的曲线所以，从这里开头，我们走向何方？正如它表明的那样，当最正确拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合假设这种描述使你混淆，再研究图11.1虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。

这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最正确拟合最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法 Second Order Curve Fitting12108y=f(x)6420-200.20.4x0.60.81 图11.1 2阶曲线拟合 在MATLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开头 为了用polyfit，我们务必给函数赋予上面的数据和我们梦想最正确拟合数据的多项式的阶次或度假设我们选择n=1作为阶次，得到最简朴的线性近似通常称为线性回归相反，假设我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式现在，我们选择一个2阶多项式 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量其解是y = －9.8108x2 ＋20.1293x－0.0317为了将曲线拟合解与数据点对比，让我们把二者都绘成图 ? p=polyfit(x, y, n) p = -9.8108 20.1293 -0.0317 ? n=2; % polynomial order ? y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; ? x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; 为了计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。

画出了原始数据x和y，用'o'标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用点' : '线，画出多项式数据xi和z 将图作标志这些步骤的结果表示于前面的图11.1中 多项式阶次的选择是有点任意的两点抉择一向线或一阶多项式三点抉择一个平方或2阶多项式按此举行，n+1数据点唯一地确定n阶多项式于是，在上面的处境下，有11个数据点，我们可选一个高达10阶的多项式然而，高阶多项式给出很差的数值特性，人们不应选择比所需的阶次高的多项式此外，随着多项式阶次的提高，近似变得不够光滑，由于较高阶次多项式在变零前，可屡屡求导例如，选一个10阶多项式 ? pp.' % display polynomial coefficients as a column ans = -4.6436e+005 2.2965e+006 -4.8773e+006 5.8233e+006 -4.2948e+006 2.0211e+006 -6.0322e+005 1.0896e+005 -1.0626e+004 ? pp=polyfit(x, y, 10) ; ? format short e % change display format ? xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ') ? plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) ? xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting ? z=polyval(p, xi); 4.3599e+002 -4.4700e-001 要留神在现在处境下，多项式系数的规模与前面的2阶拟合的对比。

还要留神在最小(-4.4700e-001)和最大(5.8233e+006)系数之间有7个数量级的幅度差将这个解作图，并把此图与原始数据及2阶曲线拟合相对比，结果如何呢？ 在下面的图11.2中，原始数据标以'o'，2阶曲线拟合是虚线，10阶拟合是实线留神，在10阶拟合中，在左边和右边的极值处，数据点之间展现大的纹波当企图举行高阶曲线拟合时，这种纹波现象经常发生根据图11.2，鲜明，‘ 越多就越好 ’的观念在这里不适用 2nd and 10th Order curve Fitting16141210? zz=polyval(pp, xi); % evaluate 10th order polynomial ? plot(x, y, ' o ' , xi, z, ' : ' , xi, zz) % plot data ? xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' 2nd and 10th Order curve Fitting ') y=f(x)86420-200.20.4x0.60.81 图11.2 2阶和10阶曲线拟合 11.2 一维插值 正如在前一节对曲线拟合所描述的那样，插值定义为对数据点之间函数的估值方法，这些数据点是由某些集合给定。

当人们不能很快地求出所需中间点的函数值时，插值是一个有价值的工具例如，当数据点是某些测验测量的结果或是过长的计算过程时，就有这种处境 或许最简朴插值的例子是MATLAB的作图按缺省，MATLAB用直线连接所用的数据点以作图这个线性插值推测中间值落在数据点之间的直线上当然，当数据点个数的增加和它们之间距离的减小时，线性插值就更精确例如， Linear Interpolation1? x1=linspace(0, 2*pi, 60); ? x2=linspace(0, 2*pi, 6); ? plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), ' - ') ? xlabel(' x '), ylabel(' sin(x) '), title(' Linear Interpolation ') 0.5sin(x)0-0.5-10123x4567 图11.3 线性插值 图11.3是sine函数的两个图，一个在数据点之间用60个点，它比另一个只用6个点更 — 6 —。