【教案】两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式+教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式 教学设计教学目标1.让学生由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角正弦、余弦、正切公式，领悟从一般化归为特殊的数学思想，引导学生发现数学规律，培养思想的严密性和科学性2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换和数值计算，并能灵活地将公式变形运用教学重、难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础推导二倍角的正弦余弦和正切公式，二倍角公式的简单应用难点：用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与同角三角函数的基本关系，诱导公式、和角公式的综合应用教学方法启发诱导式、讲练结合式教学过程一 引入回忆上节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sinα±β=sinαcosβ±sinβcosα，cosα±β=cosαcosβ∓sinαsinβ，tanα±β=tanα±tanβ1∓tanαtanβ二 新知探究问题 如何借助Sα±β，Cα±β，Tα±β推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式？（通过复习和引导，让学生自己动手完成推导过程1. 角2α与α的关系： 2α=α+α，2. 二倍角的正弦公式令Sα+β公式中括号里的，sinα+α=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα。

思考1：除了通过Sα+β推导出sin2α的公式外，能不能借助Sα-β推导出sin2α的公式？令Sα-β公式中括号里的β=-α，借助诱导公式得到sinα--α=sinαcos-α-sin-αcosα=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα即sin2α=2sinαcosα.3. 二倍角的余弦公式令Cα+β中括号里的，cosα+α=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α，或令Cα-β中括号里的β=-α，通过诱导公式得到cosα--α=cosαcos-α+sinαsin-α=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α思考2: 能不能根据同角三角函数的平方和关系表示出cos2α的其他形式呢？由平方和关系可知cos2α=1-sin2α，再代入回原来的式子，可得cos2α=1-sin2α-sin2α=1-2sin2α.或将sin2α=1-cos2α代入可得出cos2α=cos2α-1-cos2α=2cos2α-1cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α4. 二倍角的正切公式同理可得tanα+α=tanα+tanα1-tanαtanα=2tanα1-tan2α，或tanα--α=tanα+tan-α1-tanαtan-α=2tanα1-tan2αtan2α=2tanα1-tan2α。

思考3:tan2α公式中有哪些点需要我们注意？从形式可以看出，只有当分母和分别有意义时整个等式是成立的，即角α需要满足三个条件：5. 二倍角公式我们把：，以上这些公式叫做倍角公式，注：“倍”是描述两个数量之间关系的，比如2α 是 α 的二倍角，4α 是 2α 的二倍角，α是α2的二倍角，α2是α4的二倍角等.三 例题讲解例1 已知sinα = 513,α∈π2,π，求sin2α,cos2α,tan2α.分析: 已知条件给出了α的正弦值，由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式求值，法一：首先求出cosα的值，利用同角三角函数的商数关系求tanα的值，再由倍角公式求得sin2α,cos2α,tan2α的值,；解：∵sinα =513,α∈π2,π∴cosα=-1-sin²α= -1213，tanα=sinαcosα=513-1213=-512,故sin2α=2sinαcosα=2×513×（-1213）= -120169,cos2α=cos2α-sin2α =-12132-5132= 119169,tan2α=2tanα1-tan2α=2×-5121--5122=-120119法二：首先通过倍角公式求出cos2α的值，利用同角三角函数的平方和关系和商数关系分别求出sin2α, tan2α的值.解：cos2α=1-2sin2α=1-2×5132=119169sin22α=1-cos22α=1-1191692=1201692,又∵2α∈π,2π且cos2α=119169,∴2α是第四象限角，即sin2α=-120169,tan2α=sin2αcos2α=-120169119169=120119.四 小结sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α（只有当和分别有意义时等式成立，即：）五 作业：配套练习学科网（北京）股份有限公司。