固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质.ppt

第三章 晶格振动和晶体的热学性质 前两章是在原子固定不动的前提下研究固体的性质. 这是T=0K的理想状态. 对于实际晶体, 原子总是在平衡位置附近作热振动. 当温度较高时, 作热振动的原子还可能脱离平衡位置, 形成缺陷. 在本章, 讨论温度不太高时原子在平衡位置附近的微振动; 在下章讨论晶体缺陷. 本章常用的几个概念: 1) 热振动: 在一定温度下, 固体原子在平衡位置附近的极小范围内的振动. 2) 微振动: 在温度不太高的情况下, 振动位移xa(晶格常数)的热振动. 晶格振动不仅对晶体的比热、热膨胀和热传导等热学性质有重要影响, 而且对晶体的电学性质、光学性质和介电性质等也有影响. 对于这些初看起来彼此似乎没有什么联系的现象, 应用晶格振动理论却可作比较统一的论述. 本章先讨论一维晶格的热振动, 然后把所得结论加以推广, 引出三维晶格的基本特征, 最后讨论晶体的比热、热膨胀和热传导.本章重点 一维单原子/双原子链模型及其色散关系的推导 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导 晶格比热（爱因斯坦模型/德拜模型）第一节 一维晶格的振动3.1.1 一维单原子链的振动3.1.2 一维双原子链(复式格子)的振动本节主要内容:3.1 一维晶格的振动3.1.1 一维单原子链的振动1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。

第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2 用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子a Xn-2Xn-1 XnXn+1 Xn+2(2)振动方程和解平衡时，第k个原子与第n个原子相距 为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ，t时刻为nkx 第 n个与第 k个原子间的相互作用力: 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的高次项，只保留到(r)2项-简谐近似忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似)得:弹性恢复力系数原子的振动方程:2 周期性边界条件-玻恩-卡门条件设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相平行堆积充满整个空间，在各相同的晶体块内的原子的运动情况应当是相同的，既晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原对于一维晶格，这个条件表示为：这相当于一维原子链首尾相接形成一个环状晶格这样做虽然没有考虑表面原子的特殊性，但由于实际晶体中原子数目N 很大，表面原子数目所占比例很小，不会对晶体的整体性质产生明显地影响。

周期性边界条件的合理性？应用周期性边界条件（玻恩-卡门条件）忽略原子链两端原子与链中原子的不同且只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：给出试探解： 原子都以同一频率，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波色散关系(晶格振动谱) 将试探解代入振动方程得振动频率:给出试探解:由色散关系式可画图如下:3.色散关系是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)0m且故取简约布里渊区且4格波的相速度和群速度群速度：就是指波的包络传播的速度实际上就是波实际前进的速度相速度：就是波相位传播的速度通俗地讲，就是波形状向前变化的速度由于原子的不连续性，格波的相速度不再是常数但当 q 0 时， 为一常 数这是因为当波长很大时，一个波长范围含若干原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近 于连续媒质中的弹性波相速度：1此时相邻原子的振动位相相同：群速度：由于原子的不连续性，格波的群速度也不等于其相速度当 恰好落在布里渊区边界上时， vg=0 （此时相速度为 这表明波矢位于第一布里渊区边界时，格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。

因为此时相邻原子的振动位相相反， 对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):整数5. 玻恩-卡门周期性边界条件下波矢q的取值 波矢 也只能取N个不同的值共N个值)晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目6. 长波极限:由连续介质波的传播速度： 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波 例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)由玻恩-卡门周期性边界条件:解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:将试探解代入振动方程得色散关系:S为整数一维单原子链晶格振动：色散关系(晶格振动谱)晶格振动的特点：存在固定位相关系的平面波是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)波矢取值范围：周期性边界条件：晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目q0,既在长波近似下，格波接近于连续媒质中的弹性波此时相邻原子的振动位相相同：格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波因为此时相邻原子的振动位相相反，当：一维单原子链晶格振动：模型运动方程 试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B-K条件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM。

相邻原子间距均为a，恢复力系数为 (晶格常量为2a )2n2n-12n+12n+22n-2mM质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：(2)方程和解其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq2.色散关系上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即: 0(+)-光学支格波， A(-)-声学支格波 推导(1)色散曲线折合质量偶函数：周期函数：由玻恩-卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：(2)波矢q的取值(共有N个值)一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N 由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的数目为2N，格波(振动模式)数目为2N晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似1)当波矢q 0时,级数展开声学波(2)相邻原子的振幅之比对于声学支格波: 声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。

当波矢 时, 长长声学波，相邻邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动.因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动.对于光学波: 光学支格波，相邻原子振动方向是相反的 长光学波，原胞的质心保持不动所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动 光学支格波，相邻原子振动方向是相反的 声学支格波，相邻原子振动方向是相同的 可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质量为m的轻原子保持不动，只有重原子做振动，而且相邻原胞重原子运动方向相同；在光学支格波上，质量为M的重原子保持不动，只有轻原子做振动，而且相邻原胞轻原子运动方向相反 一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N.晶格振动的波矢数 = 晶体的原胞数 晶体中格波的支数 = 原胞内的自由度数晶格振动频率(振动模式)数 = 晶体的自由度数上述结论可以推广到m维(如二维或三维)复式晶格情况.如果一个m维复式晶格原胞数为N,每个原胞含n个不等效的原子, 则:晶格振动的波矢数 = N 晶体中格波的支数 = nm ， m (声学支)+m(n-1) (光学支)晶格振动频率(振动模式)数 = nmN 例2:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM 。

靠得较近的两个原子构成一个分子设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为1，分子间两原子间的恢复力系数为2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb12解:只考虑最近邻原子间的相互作用，将试探解代入方程得:据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值 0(+)-光学支格波， A(-)-声学支格波 q可取N个值Thank you! Thank you! Class is Over!余弦函数级数展开。