2024年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第9讲抛物线的焦点弦问题.docx

第9讲　抛物线的焦点弦问题直线与抛物线相交的问题，若直线过抛物线的焦点，可使用焦点弦长公式求弦长，利用焦点弦的特殊结论求解题目．例1　(1)(2020·石家庄模拟)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AB的中点为C，过C作抛物线准线的垂线交准线于C′，若CC′的中点为M(1,4)，则p等于(　　)A．4B．8C．4D．8答案　B解析　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵M(1,4)，∴y1＋y2＝8，又C，F，∴kAB＝2，∴直线AB：y＝2，代入y2＝2px，得y2－py－p2＝0，∴y1＋y2＝p＝8.(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)A．4B.C．5D．6答案　B解析　不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于点E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AF|＝2m，|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，所以tanθ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.由y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式得|AB|＝＝.例2　已知抛物线C：y2＝8x，P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求△PMN的面积S的最小值．解　由题意知F(2,0)，设P(x0，y0)(y0>0)，M，N，切线l的方程为x－x0＝t(y－y0)，则＝，＝，由M，F，P三点共线，可知∥，即y0－y1＝0，因为y0≠y1，所以化简可得y0y1＝－16.由可得y2－8ty＋8ty0－8x0＝0，因为直线l与抛物线相切，故Δ＝64t2－32ty0＋4y＝0，故t＝.所以直线PN的方程为y－y0＝－(x－x0)，即y0x＋4y－4y0－＝0，所以点M到直线PN的距离为d＝，将y1＝－代入可得d＝＝，联立消去x可得，y0y2＋32y－y－32y0＝0，所以y0＋y2＝－，y2＝－－y0，|PN|＝|y0－y2|＝＝，故S＝d|PN|＝××＝3＝3≥3＝64，当且仅当y0＝4时，“＝”成立，此时，△PMN的面积S取得最小值，为64.设AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条焦点弦，焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)＋＝.(3)|AB|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)．1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由已知得焦点为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.方法一　联立直线方程与抛物线方程，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二　联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为d＝＝，因此S△OAB＝|AB|·d＝.2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则cos∠ABB1＝＝＝，即cos60°＝＝，得＝.3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k等于(　　)A.B.C.D．2答案　D解析　抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，由题意可知直线AB的斜率一定存在，所以设直线方程为y＝k(x－2)(k≠0)，代入抛物线方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝，y1y2＝－16，因为∠AMB＝90°，所以M·M＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，解得k＝2，故选D.4.如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解　(1)由题意可得＝1，则p＝2,2p＝4，抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，k>0，与抛物线方程y2＝4x联立可得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，故x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，y1y2＝－×＝－4，设C(x3，y3)，由重心坐标公式可得，xG＝＝，yG＝＝，令yG＝0可得，y3＝－，则x3＝＝，即xG＝＝，由斜率公式可得，kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y3＝(x－x3)，令y＝0，可得xQ＝x3＋＝＋＝－，故S1＝×(xG－xF)×y1＝××y1＝×，且S2＝×(xQ－xG)×(－y3)＝－，由y3＝－，代入上式可得S2＝，由y1＋y2＝，y1y2＝－4可得y1－＝，则k＝，则＝＝＝2－≥2－＝1＋，当且仅当y－8＝，即y＝8＋4，y1＝＋时等号成立，此时k＝＝，xG＝＝2，。