2024年上海市普陀区高考一模数学试卷含详解.docx

2024届普陀区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1. 若抛物线顶点到它的准线距离为，则正实数______.2. 设为虚数单位，若复数满足.则______.3. 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为______.4. 设是等差数列的前项和，若，则______.5. 设，若.则______.6. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.7. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______.8. 设圆锥底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为______.9. 若数列满足，（，），则最小值是______.10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.11. 设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是______.12. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______.二、选择题（本大题共有4小题，满分18分）13. 若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 椭圆的方程是B. 过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条C. 圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是D. 直线与椭圆有交点，与圆无交点14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 15. 已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（ ）A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数16. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；（2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）18. 图1所示是等腰梯形，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示.（1）若，求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.19. 设函数的表达式为.（1）求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；（2）若，且，求实数的取值范围.20. 设双曲线：（），点是左焦点，点为坐标原点.（1）若的离心率为，求双曲线的焦距；（2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程；2024届普陀区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1. 若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数______.【答案】2【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可.【详解】，因为为正实数，则，则，故答案为：2.2. 设为虚数单位，若复数满足.则______.【答案】【分析】利用复数的除法求出，再由复数模的意义计算得解.【详解】由，得，所以.故答案为：3. 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为______.【答案】1弧度【分析】根据弧度的定义求解即可．【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角．故答案为：1弧度．4. 设是等差数列的前项和，若，则______.【答案】21【分析】由等差数列性质，得，结合等差数列前项和公式即可得.【详解】由是等差数列，则，即，则有.故答案为：.5. 设，若.则______.【答案】4【分析】由二项展开式通项公式可确定，可构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】展开式的通项公式为：，分别令，，，则，即，解得：.故答案为：4.6. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围.【详解】令，，解得，，令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，故答案为：.7. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______.【答案】【分析】分和讨论即可.【详解】，则，解得，若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素，因为为正实数，则，，若，则，解得，若，则，解得，综上所述，的取值范围为.故答案为：.8. 设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为______.【答案】【分析】求出圆锥的底面圆的半径，从而得到圆锥的侧面积.【详解】由棱锥为正三棱锥，得，，而⊥，⊥，由勾股定理得，即圆锥的底面圆半径，母线长，则该圆锥的侧面积为.故答案：9. 若数列满足，（，），则的最小值是______.【答案】6【分析】利用累加法求得，计算，由对勾函数的性质求最小值，注意是正整数.详解】由已知，，…，，，所以，，又也满足上式，所以，设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，因此在时递减，在时递增，又，，所以的最小值是6，故答案为：6.10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.【答案】##0.5【分析】作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可.【详解】作出函数，的大致图象，如图，令，，解得，， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，（可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度）即，关于直线，对称，，由于，故，而，关于直线，对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得．故答案为：.11. 设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案.【详解】，即，即，即对任意恒成立，，即对任意恒成立，对任意恒成立，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，则，故答案为：.12. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______.【答案】【分析】记该正四面体为，题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大时，只要最大即可得．【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，显然在其高上，是底面正的中心，设，则，，，所以，是内切球球心也是其外接球球心，设内切球半径为，即，又，由得，，最大时，是球的直径，，点在该正四面体的表面，当是正四面体的顶点时，取得最大值为，所以的最大值是．故答案为：．二、选择题（本大题共有4小题，满分18分）13. 若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 椭圆的方程是B. 过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条C. 圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是D. 直线与椭圆有交点，与圆无交点【答案】C【分析】设出椭圆的方程为，根据已知求得，，进而判断选项A，根据图象即可判断选项B，根据椭圆的性质即可判断选项C，分别联立直线和椭圆以及圆的方程，根据方程有没有解，即可判断选项D中有没有交点.【详解】由题知，设椭圆的方程为，则将代入圆，可得，将椭圆焦点代入圆，可得，所以椭圆中，所以椭圆的方程为，A错；过椭圆在轴上的顶点，作圆的切线，明显一条，B错；圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是，C对；联立得，由，所以直线与椭圆有交点，联立得，由，所以直线与圆相切，D错.故选：C14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.【详解】.,设该三角形外接圆的半径为由正弦定理得故选：A.15. 已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（ ）A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数【答案】B【分析】根据平均数、方差、众数和中位数的概念，并通过举反例即可判断.【详解】对A，将原数据从小到大进行排序得1,2,3,3,5；其平均数为，众数为3，中位数为3，若加入的数据为，则平均数，众数为3，中位数为3，平均数、众数和中位数均不变，故ACD错误；对B，因为加入，两数后，极差变为，则数据波动程度变大，则方差一定变大，故B正确.故选：B.16. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】作出函数图象，转化为直线与函数图象交点问题，再求出边界值情况即可.【详解】当时，，单调递增，当时，，根据反比例函数的平移可得到，则此时单调递增，作出图象如下图所示，令，即，则题意转化为函数与直线在图象上有两个交点，，且直线过定点，当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线为，当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线，当直线经过点时，代入得，解得，设此时直线为，当时，，，，则在点处的切线斜率为9，设此时直线为，由图知当直线在和或和之间转动时，存在两个交点，同时注意边界值是否取等可知，故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为函数图象与直线交点个数问题，同时注意找到直线与函数所过定点，最后再找到几个极端位置即可.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；（2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）【答案】（1）44.5 （2）【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可；（2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案.【小问1详解】由条件得，指数，则这50人年龄的第60百分位数是将他们的。