面面垂直的性质习题详细答案.ppt

平面与平面垂直的性质1.1.了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程. .2.2.理解平面与平面垂直的性质定理理解平面与平面垂直的性质定理. .3.3.能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的垂直关系垂直关系. .1.1.本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解. .2.2.本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用. . 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理(1)(1)文字语言文字语言条件：两个平面垂直条件：两个平面垂直. .结论：一个平面内垂直于结论：一个平面内垂直于__________的直线与另一个平面的直线与另一个平面_____._____.(2)(2)符号语言符号语言α⊥βα⊥βα∩β=α∩β=l________________________交线交线垂直垂直⇒⇒a⊥β.a⊥β.a a⊂⊂ααa⊥a⊥l(3)(3)图形语言图形语言(4)(4)作用作用①①面面垂直面面垂直⇒⇒__________垂直；垂直；②②作面的垂线作面的垂线. .线面线面1.1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？2.2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？1.1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？提示：提示：不一定不一定. .只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直. .2.2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？提示：提示：一定一定. .由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，因此也就垂直于这个平面内的所有直线因此也就垂直于这个平面内的所有直线. .3.3.设两个平面互相垂直，则下列说法中：设两个平面互相垂直，则下列说法中：(1)(1)一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面. .(2)(2)过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内. .(3)(3)过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面. .(4)(4)分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行. .正确的序号是正确的序号是_______._______.【解析】【解析】(1)(1)错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于另一个平面另一个平面.(3).(3)错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中. . 分别分别在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交( (包括垂直包括垂直),),故故(4)(4)错误错误. .只有只有(2)(2)正确正确. .答案：答案：(2)(2)4.4.如图所示，已知平面如图所示，已知平面α⊥α⊥平面平面ββ，，α∩β=α∩β=l，，A∈A∈l，，B∈B∈l，，ACAC⊂⊂αα，，BDBD⊂⊂β,AC⊥β,AC⊥l，，BD⊥BD⊥l，且，且AB=4AB=4，，AC=3AC=3，，BD=12BD=12，则，则CD=_____.CD=_____.4.4.如图所示，已知平面如图所示，已知平面α⊥α⊥平面平面ββ，，α∩β=α∩β=l，，A∈A∈l，，B∈B∈l，，ACAC⊂⊂αα，，BDBD⊂⊂β,AC⊥β,AC⊥l，，BD⊥BD⊥l，且，且AB=4AB=4，，AC=3AC=3，，BD=12BD=12，则，则CD=_____.CD=_____.【解析】【解析】连接连接BC,∵AC⊥BC,∵AC⊥l,∴BC=,∴BC=又又∵∵平面平面α⊥α⊥平面平面ββ，，α∩β=α∩β=l，，BD⊥BD⊥l, ,∴BD⊥∴BD⊥平面平面αα，，∴BD⊥BC∴BD⊥BC，，∴CD=∴CD=答案：答案：1313对平面与平面垂直的性质的认识对平面与平面垂直的性质的认识两个平面垂直的性质定理也可简述为两个平面垂直的性质定理也可简述为““面面垂直，则线面垂直面面垂直，则线面垂直”.”.该定理可作为该定理可作为““线面垂直线面垂直””的判定方法：只要有两个平面的判定方法：只要有两个平面垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一步垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一步有线与线的垂直有线与线的垂直. .平面与平面垂直的判定与性质相结合，为证平面与平面垂直的判定与性质相结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧. . 面面垂直的性质定理的应用面面垂直的性质定理的应用【技法点拨】【技法点拨】应用面面垂直的性质定理的策略应用面面垂直的性质定理的策略(1)(1)应用步骤应用步骤: :面面垂直面面垂直 线面垂直线面垂直→→线线垂直线线垂直. .(2)(2)应用类型应用类型:①:①证明线面垂直、线线垂直证明线面垂直、线线垂直; ;②②作线面角或作二面角的平面角作线面角或作二面角的平面角. .【典例训练】【典例训练】1.1.如图所示，三棱锥如图所示，三棱锥P-ABCP-ABC的底面在平面的底面在平面αα上，且上，且AC⊥PC,AC⊥PC,平平面面PAC⊥PAC⊥平面平面PBCPBC，点，点P P，，A A，，B B是定点，则动点是定点，则动点C C运动形成的图运动形成的图形是形是( )( )(A)(A)一条线段一条线段(B)(B)一条直线一条直线(C)(C)一个圆一个圆(D)(D)一个圆，但要去掉两个点一个圆，但要去掉两个点2.2.如图所示，平面如图所示，平面αα，，ββ，直线，直线a a，，且且α⊥βα⊥β，，α∩β=AB,a∥αα∩β=AB,a∥α，，a⊥AB.a⊥AB.求证：求证：a⊥β.a⊥β.【解析】【解析】1.1.选选D.∵D.∵平面平面PAC⊥PAC⊥平面平面PBC,AC⊥PC,PBC,AC⊥PC,ACAC⊂ ⊂平面平面PAC,PAC,且平面且平面PAC∩PAC∩平面平面PBC=PCPBC=PC，，∴AC⊥∴AC⊥平面平面PBC.PBC.又又∵BC∵BC⊂ ⊂平面平面PBCPBC，，∴AC⊥BC∴AC⊥BC，，∴∠ACB=90°∴∠ACB=90°，，∴∴动点动点C C运动形成的图形是以运动形成的图形是以ABAB为直径的圆，除去为直径的圆，除去A A和和B B两点，两点，故选故选D.D.2.∵a∥α,2.∵a∥α,过过a a作平面作平面γγ交交αα于于a′a′，，∴a′⊥AB.∴a′⊥AB.∵α⊥β∵α⊥β，，α∩β=ABα∩β=AB，，∴a′⊥β∴a′⊥β，，∴a⊥β.∴a⊥β.【思考】【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？提示：提示：应特别注意三点：应特别注意三点：(1)(1)两个平面垂直是前提条件；两个平面垂直是前提条件；(2)(2)直直线必须在其中一个平面内；线必须在其中一个平面内；(3)(3)直线必须垂直于它们的交线直线必须垂直于它们的交线. . 与面面垂直有关的计算与面面垂直有关的计算【技法点拨】【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法与面面垂直有关的计算的方法(1)(1)求角的大小求角的大小. .由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题. .(2)(2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积. .求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点( (等体积等体积) )法法. .2.2.如图所示，正四棱柱如图所示，正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，底面边长为底面边长为2 2 侧棱长为侧棱长为4 4，，E E，，F F分别分别为棱为棱AB,BCAB,BC的中点，的中点，EF∩BD=G.EF∩BD=G.(1)(1)求证：平面求证：平面B B1 1EF⊥EF⊥平面平面BDDBDD1 1B B1 1；；(2)(2)求点求点D D1 1到平面到平面B B1 1EFEF的距离的距离. .2.(1)2.(1)连接连接AC.∵AC.∵正四棱柱正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面是正方形，的底面是正方形，∴∴AC⊥BD.AC⊥BD.又又AC⊥DDAC⊥DD1 1, ,且且BD∩DDBD∩DD1 1=D,=D,故故AC⊥AC⊥平面平面BDDBDD1 1B B1 1，，∵E∵E，，F F分别为棱分别为棱AB,BCAB,BC的中点，故的中点，故EF∥ACEF∥AC，，∴EF⊥∴EF⊥平面平面BDDBDD1 1B B1 1，，∴∴平面平面B B1 1EF⊥EF⊥平面平面BDDBDD1 1B B1 1. .(2)(2)解题流程解题流程: : 关于折叠问题关于折叠问题【技法点拨】【技法点拨】解决折叠问题的策略解决折叠问题的策略(1)(1)抓住折叠前后的变量与不变量抓住折叠前后的变量与不变量. .一般情况下，在折线同侧的一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，量，折叠前后不变，““跨过跨过””折线的量，折叠前后可能会发生折线的量，折叠前后可能会发生变化变化, ,这是解决这类问题的关键这是解决这类问题的关键. .(2)(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况化情况. .注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况度，角度的变化情况. .【典例训练】【典例训练】1.1.如图所示，沿直角三角形如图所示，沿直角三角形ABC ABC 的中位线的中位线DE DE 将平面将平面ADE ADE 折起折起, ,使得平面使得平面ADE⊥ADE⊥平面平面BCDE,BCDE,得到四棱锥得到四棱锥A-BCDE.A-BCDE.则平面则平面ABCABC与平面与平面ACDACD的关系是的关系是______.______.2.2.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCD ABCD 中中, ,已知已知AD=2AB=2a,BD=AD=2AB=2a,BD=AC∩BD=E,AC∩BD=E,将其沿对角线将其沿对角线BDBD折成直二面角折成直二面角. .求证求证:(1)AB⊥:(1)AB⊥平面平面BCD;BCD;(2)(2)平面平面ACD⊥ACD⊥平面平面ABD.ABD.【解析】【解析】1.∵AD⊥DE,1.∵AD⊥DE,平面平面ADE⊥ADE⊥平面平面BCDE,BCDE,且平面且平面ADE∩ADE∩平面平面BCDE=DE,BCDE=DE,∴AD⊥∴AD⊥平面平面BCDE.BCDE.又又BCBC⊂ ⊂平面平面BCDE,BCDE,∴AD⊥BC.∴AD⊥BC.又又BC⊥CD,CD∩AD=D,BC⊥CD,CD∩AD=D,∴BC⊥∴BC⊥平面平面ACD,ACD,又又BCBC⊂ ⊂平面平面ABC,ABC,∴∴平面平面ABC⊥ABC⊥平面平面ACD.ACD.答案：答案：平面平面ABC⊥ABC⊥平面平面ACDACD2.(1)2.(1)在在△△ABDABD中中,AB=a,AD=2a,BD=,AB=a,AD=2a,BD=∴AB∴AB2 2+BD+BD2 2=AD=AD2 2,∴∠ABD=90°,∴AB⊥BD.,∴∠ABD=90°,∴AB⊥BD.又又∵∵平面平面ABD⊥ABD⊥平面平面BCD,BCD,平面平面ABD∩ABD∩平面平面BCD=BD,ABBCD=BD,AB⊂ ⊂平面平面ABD,ABD,∴AB⊥∴AB⊥平面平面BCD.BCD.(2)∵(2)∵折叠前四边形折叠前四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,且且AB⊥BD,AB⊥BD,∴CD⊥BD.∵AB⊥∴CD⊥BD.∵AB⊥平面平面BCD,∴AB⊥CD.BCD,∴AB⊥CD.又又∵AB∩BD=B,∴CD⊥∵AB∩BD=B,∴CD⊥平面平面ABD.ABD.又又∵CD∵CD⊂ ⊂平面平面ACD,∴ACD,∴平面平面ACD⊥ACD⊥平面平面ABD.ABD.【规范解答】【规范解答】面面垂直性质定理的综合应用面面垂直性质定理的综合应用【典例】【典例】(12(12分分) )如图所示：如图所示： 在四棱锥在四棱锥V-ABCDV-ABCD中，底面四边形中，底面四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，侧面三角形侧面三角形VADVAD是正三角形，平面是正三角形，平面VADVAD⊥⊥底面底面ABCD.ABCD.(1)(1)证明证明AB⊥AB⊥平面平面VADVAD；；(2)(2)求面求面VADVAD与面与面VDBVDB所成的二面角的平面角的正切值所成的二面角的平面角的正切值. .【解题指导】【解题指导】【规范解答】【规范解答】(1)∵(1)∵底面四边形底面四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,∴AB⊥AD.……………………………………∴AB⊥AD.………………………………………………………………1 1分分又又∵∵平面平面VAD⊥VAD⊥底面底面ABCDABCD，， ABAB⊂ ⊂平面平面ABCDABCD①①，且，且平面平面VAD∩VAD∩平面平面ABCD=ADABCD=AD①①, ,…………………………………………………………………………………………………………………………3 3分分∴AB⊥∴AB⊥平面平面VAD.……………………………VAD.………………………………………………………5 5分分(2)(2)如图所示，如图所示，取取VDVD的中点的中点E E，连接，连接AE,BE.∵△VADAE,BE.∵△VAD是正三角形是正三角形, ,∴∴AE⊥VDAE⊥VD②②，，AE= AD.AE= AD.∵AB⊥∵AB⊥平面平面VADVAD，，∴∴AB⊥VD.………………………………8AB⊥VD.………………………………8分分又又∵∵AE∩AB=AAE∩AB=A，，∴∴VD⊥VD⊥平面平面ABE.ABE.∴∴BE⊥VDBE⊥VD②.②.因此因此∠∠AEBAEB就是所求二面角的平面角就是所求二面角的平面角③③，，………………10………………10分分于是于是tan∠AEB= .……………………………………12tan∠AEB= .……………………………………12分分【规范训练】【规范训练】(12(12分分) )如图所示：如图所示：已知已知PA⊥PA⊥平面平面ABC,ABC,二面角二面角A-PB-C A-PB-C 是直二面角是直二面角. .求证求证:AB⊥BC.:AB⊥BC.【解题设问】【解题设问】(1)(1)由二面角由二面角A-PB-CA-PB-C是直二面角可得到什么？是直二面角可得到什么？______________________. .(2)(2)解答本题的思路是什么？解答本题的思路是什么？欲证欲证AB⊥BCAB⊥BC，需由，需由________________________________________得到线面垂直得到线面垂直. .进而可得到线线垂直，最后根据进而可得到线线垂直，最后根据________________________, ,寻找垂直关系寻找垂直关系. .面面垂直面面垂直面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理PA⊥PA⊥平面平面ABCABC【规范答题】【规范答题】由二面角由二面角A-PB-CA-PB-C为直二面角为直二面角, ,得平面得平面PAB⊥PAB⊥平平面面CPB,CPB,且且PBPB为交线为交线.…………………………………………2.…………………………………………2分分在平面在平面PABPAB内内, ,过过A A点作点作AD⊥PB,DAD⊥PB,D为垂足为垂足, ,………………………………………………………………4………………………………………………………………4分分则则AD⊥AD⊥平面平面CPB.CPB.又又BCBC⊂ ⊂平面平面CPB,CPB,所以所以AD⊥BC.AD⊥BC.………………………………………………………………………………………………………………………………6 6分分因为因为PA⊥PA⊥平面平面ABC,BCABC,BC⊂ ⊂平面平面ABC,ABC,所以所以PA⊥BC,PA⊥BC,………………………………………………………………………………………………………………………………8 8分分又又PA∩AD=A,PA∩AD=A,所以所以BC⊥BC⊥平面平面PAB, PAB, ……………………………………………………1010分分又又ABAB⊂ ⊂平面平面PAB,PAB,所以所以AB⊥BC. AB⊥BC. …………………………………………………………1212分分1.1.设平面设平面α⊥α⊥平面平面ββ，在平面，在平面αα内的一条直线内的一条直线a a垂直于平面垂直于平面ββ内的一条直线内的一条直线b b，则，则( )( )(A)(A)直线直线a a必垂直于平面必垂直于平面ββ(B)(B)直线直线b b必垂直于平面必垂直于平面αα(C)(C)直线直线a a不一定垂直于平面不一定垂直于平面ββ(D)(D)过过a a的平面与过的平面与过b b的平面垂直的平面垂直【解析】【解析】选选C.C.直线直线a a垂直于平面垂直于平面ββ内的一条直线内的一条直线b b，，b b不一定是不一定是交线，不能判定直线交线，不能判定直线a a必垂直于平面必垂直于平面ββ，故，故A A不正确；同理，不正确；同理，B B不正确；过不正确；过a a的平面有无数个，与过的平面有无数个，与过b b的平面位置关系平行，相的平面位置关系平行，相交均可，交均可，D D不正确；故选不正确；故选C.C.2.2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面面( )( )(A)(A)垂直垂直 (B) (B)平行平行(C)(C)平行或相交平行或相交 (D) (D)平行或相交或在另一个平面内平行或相交或在另一个平面内2.2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面面( )( )(A)(A)垂直垂直 (B) (B)平行平行(C)(C)平行或相交平行或相交 (D) (D)平行或相交或在另一个平面内平行或相交或在另一个平面内【解析】【解析】选选D.D.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线若为两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线若为交线，则在另一个平面内；若与交线平行，则与另一个平面平交线，则在另一个平面内；若与交线平行，则与另一个平面平行；若与交线相交，则与另一个平面相交行；若与交线相交，则与另一个平面相交. .3.3.已知已知PA⊥PA⊥正方形正方形ABCDABCD所在的平面，垂足为所在的平面，垂足为A A，连接，连接PBPB，，PCPC，，PDPD，，ACAC，，BDBD，则互相垂直的平面有，则互相垂直的平面有( )( )(A)5(A)5对对 (B)6 (B)6对对(C)7(C)7对对 (D)8 (D)8对对3.3.已知已知PA⊥PA⊥正方形正方形ABCDABCD所在的平面，垂足为所在的平面，垂足为A A，连接，连接PBPB，，PCPC，，PDPD，，ACAC，，BDBD，则互相垂直的平面有，则互相垂直的平面有( )( )(A)5(A)5对对 (B)6 (B)6对对(C)7(C)7对对 (D)8 (D)8对对【解析】【解析】选选C.C.平面平面PAD⊥PAD⊥平面平面ABCDABCD，平面，平面PAB⊥PAB⊥平面平面ABCDABCD，平面，平面PAB⊥PAB⊥平面平面PBCPBC，平面，平面PDC⊥PDC⊥平面平面PADPAD，平面，平面PAB⊥PAB⊥平面平面PADPAD，平面，平面PDB⊥PDB⊥平面平面PACPAC，平面，平面PAC⊥PAC⊥平面平面ABCD.ABCD. 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。