高三数学 经典例题精解分析 2-1-1 曲线与方程.doc

第二章 圆锥曲线与方程2.1　曲线与方程2.1.1　曲线与方程双基达标　(限时20分钟)1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么 (　　)．A．曲线C上的点的坐标都适合方程F(x，y)＝0B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在C上C．不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0D．不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0解析　条件中“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”，只满足了曲线和方程概念的一个条件，并不满足“曲线C上的所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，所以A是错误的，也就是说有可能存在曲线C上某个点，它的坐标不是方程F(x，y)＝0的解，因此B是错误的．由条件知C是正确的．答案　C2．下列选项中方程表示图中曲线的是 (　　)．解析　对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.答案　C3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 (　　)．A．一个点 B．一条直线C．两条直线 D．一个点和一条直线解析　由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.答案　C4．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.解析　由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.答案　55．方程y＝所表示的曲线是________．解析　y＝＝|x－1|.答案　以(1，0)为端点的两条射线6．方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？解　由(x＋y－1)＝0可得或x2＋y2－4＝0，即或x2＋y2＝4， 由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<2得 直线与圆相交，所以表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示．综合提高（限时25分钟）7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 (　　)．A．两个点 B．四个点C．两条直线 D．四条直线解析　由已知∴即或或或选B.答案　B8．下面四组方程表示同一条曲线的一组是 (　　)．A．y2＝x与y＝B．y＝lg x2与y＝2lg xC.＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝解析　主要考虑x与y的范围．答案　D9．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．解析　①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0，0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.答案　①10．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．解析　当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；当x≥1，y<1时，原方程为x－y＝1；当x<1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；当x<1，y<1时，原方程为x＋y＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．答案　正方形11．已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．证明　∵P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，∴P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，且P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，∴点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．12．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解　由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.。