导数专题1：切线问题.docx

专题一：切线问题题组一．已知切点求曲线在该点处的切线方程题1-1（2021年高考甲卷，13）曲线在点处的切线方程为__________．【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．题1-2（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则A． B． C． D．【解析】，将代入得，故选D．题1-3（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（ ）A． B．C． D．【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即,故选B.题1-4（2021届肇庆二模）曲线在处的切线方程为（ ）A． B． C． D．【解析】，，，故切线方程为，即，故选：A．方法归纳总结：已知切点求曲线在该点的切线问题步骤：（1） 求的导函数（2） 求该点处的导数即在该点处切线的斜率（3）利用点斜式写切线方程题组二．求曲线过一点的切线方程题2-1（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A． B．C． D．【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.题2-2（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【解析】由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.方法归纳总结：过点的切线方程求解步骤：（1） 设切点（2） 写切线方程（3） 点在切线上，解出切点坐标代入切线方程题组三.公切线问题题3-1.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．【解析】：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.题3-2（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.题3-3已知曲线在点处的切线与曲线相切,则=________．【解析】在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.方法归纳总结：公切线问题的处理方法设直线与曲线相切于点，与曲线相切于则与是表示同一条直线即。