高考数学（理）热点专练11《计数原理》（解析版）.docx

热点11 计数原理【命题趋势】计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以选择题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解.【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如 此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】选择题【限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2019广西高三月考）等式中，则（ ）A．81 B．80 C．65 D．64【答案】B【解析】【分析】分别令，代入原式，即可求出结果.【详解】因为令，可得，即；令，可得：，即，所以.故选：B【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可，属于常考题型.2．（2019广西柳州一中高三月考）展开式中，含项系数是（）A．-40 B．-25 C．25 D．55【答案】B【解析】【分析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含的项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果.【详解】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．（2019湖南高二期中（理））9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A．C42⋅C52 B．C42+C43+C44 C．C42+C52 D． C42⋅C52+C43⋅C51+C44⋅C50【答案】D【解析】试题分析：有两件一等品的种数C42C52，有三件一等品的种数C43C51，有四件一等品的种数C44C50, 所以至少有两件一等品的种数是C42⋅C52+C43⋅C51+C44⋅C50，故选D．考点：组合的应用．4．（2019四川高三月考（理））的展开式中含的项的系数为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将二项式变形后得出，得出其展开式通项为，然后令，求出、、的值，再代入展开式通项可得出展开式中含项的系数.【详解】，其展开式通项为，令，得，，，因此，展开式中含的系数为，故选：D.【名师点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，一般先得出其展开式通项，根据的指数求出参数的值，代入计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.5． （2019上海华师大二附中高三）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体 称为“鳖臑”,则以正方体的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A．12 B．24 C．48 D．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2．【详解】当顶点为A时，三棱锥A﹣EHG，A﹣EFG，A﹣DCG，A﹣DHG，A﹣BCG，A﹣BFG，为鳖臑．所以8个顶点为86＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个．故选：B． 6．（2019山东高三月考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A．20 B．15C．10 D．5【答案】C【解析】正五边形，考虑先固定，第二步只能固定或，依次确定第三步和第四第五步，共两种顺序，同理先固定其他四个位置各两种，一共十种顺序.【详解】此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C【名师点睛】此题考查计数原理的应用，需要弄清完成一件事情是通过如何分类或分步完成，适当的情况下列举出部分基本情况对解题大有帮助.7．（2018河南高考模拟（理））若，则的值为（ ）A． B．1 C．0 D．【答案】D【解析】分析：先由题意求得 ，再令 ，可得的值．详解：根据 ，令 ，可得 再令，可得 故选D．8．（2019湖南长沙一中高三月考（理））中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　)A．50种 B．60种 C．70种 D．90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种，不同的选法共有种，故选C.【名师点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．9．（2019湖北高二期末）《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）A．240种 B．188种 C．156种 D．120种【答案】D【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.二、填空题10．若，则_______.（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】对等式两边同时求导得，令，和单独求出，代入可得结果.【详解】解：，，令，有，即.又，故所求值为.故答案为：【名师点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题11．（2019北京高考模拟（理））2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有种活动既在上午开展、又在下午开展， 种活动只在上午开展，种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________.【答案】【解析】【详解】小王参加的是两种不同的活动，有种活动既在上午开展、又在下午开展，（1）设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝6种方案；（2）设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，（a）上午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝4种方案；（b）下午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝6种方案；（c）上下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝2种方案；所以，不同的安排方案有：6＋4＋6＋2＝18种.【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理，分步乘法计数原理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．（2019北京清华附中高考模拟（理））《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春长沙》与《清平乐六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，【详解】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，即六场的排法有4722＝144（种）故答案为：144．【名师点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．13．（2019山东高三月考）设，若，则实数________.【答案】【解析】【分析】将左右两边的函数分别求导，取代入导函数得到答案.【详解】两边分别求导：取故答案为【名师点睛】本题考查了二项式定理的计算，对两边求导是解题的关键.三、解答题14．（2019天津实验中学高考模拟（理））（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从9个球中抽2个球共有种方法，而两个球同色，可能同为红，同为黄或同为绿，方法为，概率为；（2）首先抽4个球中，红、黄、绿色球的个数至少有一个不小于2，因此的可能值为，，说明抽出的4个球都是红球，，说明抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，说明4个球中2个红球、其他两色各1个，或2个黄球、其他两色各1个，或2个绿球、其他两色各1个，当然求时，可用来求．试题解析：（1）由题意；（2）随机变量的取值可能为，，，，所以的分布列为234.【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值（数学期望）.15．（2019河北阜平中学高二月考（理））(1)在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？(2)的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【答案】（1）n＝7（2）70x4【解析】(1)由已知。