《空间几何中的向量方法》.doc

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量一、 空间向量的坐标运算1． 若，，则（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）.例1 已知求的坐标.2.若则练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，求向量的坐标.二、 空间直角坐标系中平面法向量的求法1、 方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以例1 已知求平面ABC的法向量解：设，则由得即不妨设，得， 取2.矢量积公式其中行列式法向量取与向量共线的即可用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算就是向量的坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算，作为的坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算作为坐标，所以，可以取，它与前面方程法求得的是共线向量优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。

例2 已知,,，试求平面ABC的一个法向量.练习：已知平面经过三点试求平面的一个法向量.第二讲：立体几何的向量方法-------平行与垂直一、 平行设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则（1） 线线平行：__________________________;（2） 线面平行：__________________________;（3） 面面平行：__________________________;例1：四棱锥，底面是正方形，底面，，是PC 的中点，求证：.二、 垂直1、 线线垂直设直线的方向向量分别为，设直线的方向向量分别为，则______________________________________2、线面垂直设直线的方向向量分别为，设平面的法向量分别为，则_________________________3、面面垂直设平面的法向量分别为，设平面的法向量分别为，则______________________________________（一）证明线线垂直例2：已知正三棱柱的各棱长都为1，M 是底面上BC 边上的中点，N是侧棱上的点，且，求证：.变式1：已知正三棱柱的各棱长都为1，若侧棱的中点D，求证：.（二）证明线面垂直例2：如图所示，在正方体中，O为AC与BD 的交点，G为的中点，求证：.变式训练2： 如图所示，在正方体中，（三）证明面面垂直例3：在四面体ABCD中，AC、AD的中点，求证：平面.变式训练3：在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是三角形PAB 的重心，E、F分别是BC、PB上的点，且BE：FB=1:2，求证：平面.第三讲： 立体几何的向量方法---角度一、 空间向量三种角的向量求解方法1、 异面直线所成的角：设异面直线的方向向量分别为和，则与夹角满足____________，其中的范围是______________.2、 线面角：设直线的方向向量为和平面的法向量为，则直线与平面的夹角满足__________________，其中的范围是______________.3、 二面角：设平面的法向量为，设平面的法向量为，则平面与平面所成二面角满足__________________，其中的范围是______________.二、 典型例题例1：在中，，现将沿着平面的法向量平移到的位置，已知，取、的中点、，求与所成角的余弦值.练习1：正方体的棱长为1，求与面所成角的余弦值.例3. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD，PD=DC，E 是PC 的中点，作求二面角C-PB-D 的大小.练习2：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，,(1)证明： (2)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.练习3：在四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，分别是AD，PC的中点. (1)证明： (2)求平面BEF与平面BAP的夹角大小.第四讲： 立体几何的向量方法---距离(1) 点面距离的向量公式 平面的法向量为，点P是平面外的一点，点A为平面内的一点，则点P到平面的距离等于__________________;(2) 线面、面面距离的向量公式 平面直线，平面的方向量为，，平面与直线间 的距离就是在向量方向射影的绝对值，即__________________;(3) 异面直线的距离向量公式 设向量与异面直线都垂直，，则两异面直线间的距离就是在向量方向射影的绝对值，即__________________.例1：正方形ABCD的边长为4，（1） 求点B到平面GEF的距离；（2） 求直线BD到平面GEF的距离. 例2：直三棱柱的侧棱底面三角形ABC 中，AC=BC=2，，E是AB的中点，求异面直线CE与的距离.。