曲线积分与曲面积分(8).doc

曲线积分与曲面积分曲线积分1 计算曲线积分, 其中是,.解 曲线参数化. 曲线是一条折线. 要分段计算. 以为参数.=2 计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 代入化简被积函数. 曲面和的交线是一个圆. 坐标原点到平面的距离等于, 于是这个圆的半径等于, 周长等于. 又因为曲线是曲面和的交线, 所以上所有点满足球面方程. 代入, 得==3 计算曲线积分, 其中是双纽线.解 曲线参数化. 奇偶对称性. 选极角为参数. 利用奇偶对称性. 计算在第一象限的部分, 则, 代入公式, 得==4 计算曲线积分, 其中是曲面与的交线.解 轮换对称性. 代入化简被积函数. 因为曲线关于平面及都对称, 所以结论： 设分段光滑曲线关于轴对称, 将它从左到右定向记作. 是它的位于右半平面的部分. 又设函数在上连续, 且满足, , 则=, . 5. 计算曲线积分, 其中是圆周的正向.解 曲线参数化. 将,代入, 得6. 计算曲线积分, 其中是由曲线和围成的区域的边界的正向.解 曲线参数化. 奇偶对称性. 不考虑方向, 曲线关于轴对称, 被积函数关于变量是偶函数, 用奇偶对称性, 有. 被积函数关于变量是偶函数, 曲线和在右半平面的部分分别记作和, 则=+两段曲线具有不同的表达式, 需分别计算. 计算在上的积分时, 以为参数; 计算在上的积分时, 以极角为参数. 代入公式, 得=+=格林公式1. 计算曲线积分, 其中是由曲线, , 围成区域的正向边界.解 用格林公式计算. 根据格林公式, 有=用二重积分的换元法. 令, 则区域变成平面上的矩形. 雅可比行列式, 代入公式, 得==2. 计算曲线积分, 其中是曲线上从点到点的弧.解 添加一段弧成闭路, 用格林公式计算.添加x轴上从点到点的直线段, 记它们共同围成的区域为, 用格林公式, 得 ==3. 计算曲线积分, 其中的正向.解 化简被积函数, 用格林公式计算. 因为被积函数在原点没有定义, 不能直接用格林公式. 将曲线方程代入被积函数的分母, 得这时可以使用格林公式了. 记, 则4. 设函数有连续的偏导数, 求证: , 其中是圆周的正向.证 用格林公式证明不等式. 用格林公式, 有=.因为区域关于直线对称, 用轮换对称性, 有=5. 求极限, 其中是圆周的正向.解 用格林公式求极限. 设围成的区域为, 根据格林公式, 有 6. 设函数有连续导数, 则曲线积分与路径无关.证 用曲线积分与路径无关的条件. 计算可得, , 满足曲线积分与路径无关的条件.7. 求函数, 使得曲线积分与路径无关. 解 用曲线积分与路径无关的条件. 根据曲线积分与路径无关的条件, 有, 即. 积分, 得.8. 计算曲线积分, 其中是曲线上从点到点的弧.解 曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径. 计算可得, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 先从点沿直线到点, 再从点沿直线到点.=+ =9. 计算曲线积分, 其中函数有连续导数,点.解 用条件判定曲线积分与路径无关. 选择比较简单的路径.计算可得, 满足曲线积分与路径无关的条件. 因此, 选择容易计算的积分路径: 沿曲线从点到点.10. 计算曲线积分, 其中是包含坐标原点在其内部的正向闭曲线. 证 用复连通区域的格林公式. 选择比较简单的闭路. 积分式在坐标原点无意义, 取足够小, 使得圆周在的内部. 因为被积函数满足微分方程, 所以在与C之间的区域上的二重积分等于零. 于是在用多连通区域的格林公式时, 相当于换成另一条闭路, ==11. 验证是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.解 用全微分的条件. 计算可得, 满足全微分的条件. 选坐标原点为始点, 则 验算: .曲面积分结论1.设光滑曲面关于平面对称, 是在上半空间的部分. 函数在曲面上连续, 且满足=, 则.2.设函数在光滑曲面上连续, 的面积记作, 则存在点, 使得=.1. 计算曲面积分, 其中是锥面.解 向坐标平面投影. 向平面的投影区域为. . 用计算公式, 得==2. 计算曲面积分, 其中是.解 奇偶对称性. 曲面关于平面和平面对称, 因此. 3. 计算曲面积分, 其中是球面解 轮换对称性.因为球面关于平面和都对称, 所以==于是, ==结论 设光滑有向曲面关于平面对称, 函数,,在上连续, 且, , , 则. 4. 计算曲面积分, 其中是锥面的下侧.解 向坐标平面投影. 奇偶对称性. 曲面关于平面对称, 被积函数关于是偶函数, 于是. 5. 计算曲面积分, 其中是圆锥面, 的下侧.解 轮换对称性. 曲面关于平面对称, 用轮换对称性, 得 =于是 =06. 计算曲面积分, 其中是柱面, , 的右侧.解 向坐标平面的投影是曲线弧. 因为曲面在平面的投影是一条曲线, 所以. 曲面关于平面对称, 函数关于x的是偶函数, 所以; 函数关于的是奇函数, 所以. 记是在第一卦限的部分, 是在平面上的投影, 是在平面上的投影, 用计算公式, 得 = =+= （注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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