2021年高考【数学】一轮复习考点15 三角函数的图象与性质（原卷版）.pdf

2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 考点考点 1515 三角函数的图像和性质三角函数的图像和性质 【考点剖析】 1.1.最新考试说明：最新考试说明： (1)考查三角函数的值域与最值； 【2020 年高考北京卷 14】若函数( )sin()cosf xxx的最大值为2，则常数的一个取值为 【2019 年高考全国卷文数】函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为___________ 【2018 全国卷】若在是减函数，则的最大值是( )cossinf xxx, a aa ABC D 4 2 3 4 【2017 山东】设函数( )sin()sin() 62 f xxx ，其中03已知()0 6 f （）求； （）将函数( )yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左 平移 4 个单位，得到函数( )yg x的图象，求( )g x在 3 , 44 上的最小值 (2)考查三角函数图象及单调性、奇偶性、周期性； 【2020 年高考全国卷文理数 7】设函数 cos 6 f xx 在, 的图像大致如下图，则 f x的 最小正周期为（ ） A10 9 B 7 6 C 4 3 D 3 2 【2020 年高考全国卷文数 12】已知函数 1 sin sin f xx x ，则 （ ） A fx的最小值为2 B fx的图像关于y轴对称 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 C fx的图像关于直线x 对称 D fx的图像关于直线 2 x 对称 【2020 年高考天津卷 8】已知函数 ( )sin 3 f xx 给出下列结论： ( )f x 的最小正周期为2； 2 f 是 ( )f x 的最大值； 把函数 sinyx 的图象上所有点向左平移3 个单位长度，可得到函数 ( )yf x 的图象 其中所有正确结论的序号是 ABCD 2.2.命题方向预测：命题方向预测： (1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点. (3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 3.3.课本结论总结：课本结论总结： (1)由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，有两种变换方式：先相位变换再周期变换(伸 缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和 || 周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值 (2)的性质：定义域为 R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在xysin1 , 12 单调递增，在单调递减；当时，)(2 2 ,2 2 Zkkk )(2 2 3 ,2 2 Zkkk Zkkx,2 2 ；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标1 max yZkkx,2 2 1 min y)( 2 Zkkx 为.Zkk, 0 , (3)的性质：定义域为 R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在xycos1 , 12 单调递增，在单调递减；当时，)(2 ,2Zkkk)(2,2ZkkkZkkx,2 ；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标为1 max yZkkx,21 min y)(Zkkx .Zkk , 0 , 2 （4）的性质：定义域为，值域为；是周期函数，最小正周期为xytan Zkkxx, 2 | R 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 ；在单调递增；其对称中心坐标为.)( 2 , 2 Zkkk Zk k , 0 , 2 4.4.名师二级结论：名师二级结论： （1）由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸 缩变换)，平移的量是||个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单 || 位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少 值 （2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确 Mm 2 Mm 2 定，即由T求出，由特殊点确定 2 (3)作正弦型函数yAsin(x)的图象时应注意： 首先要确定函数的定义域； 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个 函数的图象. (4)求三角函数值域(最值)的方法： 利用 sin x、cos x的有界性； 形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出kxAy)sin(x 函数的值域； 换元法：把 sin x或 cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题 5.、、的性质：)sin(xAy)cos(xAy)tan(xAy 周期性 函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为. 2 || || 奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形 式 研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.x 5.5.课本经典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版第 147 页，第 A9 题（例题）已知.xxxy 22 cos2)cos(sin 求它的递减区间；求它的最大值和最小值. 【解析】xxxxxxxxy2cos2sin22cos1cossin21cos2)cos(sin 22 2) 4 2sin(2 x 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 令，解得，即函数的单调区间为; kxk2 2 3 4 22 2 kxk 8 5 8 )( 8 5 , 8 Zkkk 由题意得，，.22 max y22 min y 【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 (2)新课标 A 版第 147 页，第 A10 题（例题）已知函数.xxxxxf 44 sincossin2cos)( 求的最小正周期；当时，求的最小值以及取得最小值时的集合.)(xf 2 , 0 x)(xfx 【解析】.xxxxxxxxxxf2sin2cos2sinsincossincossin2cos)( 2244 ) 4 2cos(2 x ; 2 2 T ，则，即，此时， 4 5 4 2 4 , 2 , 0 xx 2 2 ) 4 2cos(1 x2)( min xf ， 4 2x 即，即取得最小值时的集合为. 8 3 xx 8 3 【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 6.6.考点交汇展示：考点交汇展示： （（1 1）与函数的极值点、零点交汇）与函数的极值点、零点交汇 1 【2019 年高考全国卷文数】若 x1=4 ，x2= 4 是函数 f(x)=sin x (0)两个相邻的极值点，则= A2B 3 2 C1D 1 2 2【2019年高考全国卷文数】函数 ( )2sinsin2f xxx 在0，2的零点个数为 A2 B3 C4D5 (2)(2)与平面向量的交汇与平面向量的交汇 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 1 （2017 江苏）已知向量(cos ,sin )xxa，(3,3)b，0, x （1）若ab，求x的值；（2）记( )f x a b，求( )f x的最大值和最小值以及对应的x的值 (3)(3)与解三角形的交汇与解三角形的交汇 1.已知函数 2 3 3sinsin cos 2 f xxxx. （）求函数 f x的单调递增区间； （）在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若A为锐角且 3 2 fA ， 4bc，求a的取 值范围. (4)(4)与方程的交汇与方程的交汇 1 （2018 上海）设常数，函数aR 2 ( )sin22cosf xaxx (1)若为偶函数，求的值；( )f xa (2)若，求方程在区间上的解()31 4 f ( )12f x ， (2)(2)与不等式的交汇与不等式的交汇 1已知函数 1 (=cos ( 3sincos )+ 2 f xxxx） . （1）求 ( ) 3 f 的值；（2）当 0, 2 x 时，不等式 ( )2cf xc 恒成立，求实数c的取值范围 2已知函数. ( )3cos(2)2sincos 3 f xx-xx （I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当时， , 4 4 x 1 2 f x 【考点分类】 热点一 三角函数的图象 1.【2020 年高考浙江卷 4】函数cossinyxxx在区间, 的图像大致为（ ） 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 A B C D 2 【2020 年高考江苏卷 10】将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中 与y轴最近的对称轴的方程是 3.【2019 年高考天津卷理数】已知函数( )sin()(0,0,||)f xAxA 是奇函数，将 yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数 为 g x若 g x的最小正周期为2，且2 4 g ，则 3 8 f A2B2 C2D2 4 （2015 新课标）函数( )cos()f xx的部分图像如图所示，则( )f x的单调递减区间为 A 13 (,) 44 kk，kZ B 13 (2,2) 44 kk，kZ C 13 (,) 44 kk，kZ D 13 (2,2) 44 kk，kZ 5.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部 ( )sin() (0, ||) 2 f xAx 分数据，如下表： x 0 2 3 2 2 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 x 3 5 6 sin()Ax 0550 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；( )f x （）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若( )yf x(0)( )yg x 图象的一个对称中心为，求的最小值. ( )yg x 5 (, 0) 12 【方法规律】 1.用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或)0, 0)(sin(AxAy 的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个)0, 0)(cos(AxAy 2 特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点 2.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个)sin(xAy)( 2 Zkkx 对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由，解得x(kZ)，即其对称中心)(Zkkx k 为(，0)(kZ) k 3.相邻两对称轴间的距离为 ，相邻两对称中心间的距离也为 . T 2 T 2 【解题技巧】 根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：)0, 0()sin(AkxAy (1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A； 最高点最低点 2 (2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k； 最高点最低点 2 (3)的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T(0)来确定； 2 (4)的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则),( 11 yx),( 22 yx 或，求值)(2 2 1 Zkkx )(2 2 3 2 Zkkx 法二：由。