2021年高考【数学】一轮复习考点12 导数与不等式函数零点等（原卷版）.pdf

2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 考点考点 1212 导数与不等式、函数零点导数与不等式、函数零点 【考点剖析】 1.1.最新考试说明：最新考试说明： 1从近几年高考命题情况来看，对这部分内容的考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大. 导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中 要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分 式、以 e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热 点.主要有两种考查类型： （1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题； （2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题. 【2020 年高考全国卷文数 20】已知函数 e2 x f xa x （1）当时，讨论的单调性； 1a f x （2）若有两个零点，求的取值范围 f x a 【2020 年高考全国卷文数 20】已知函数 32 f xxkxk （1）讨论的单调性：（2）若有三个零点，求的取值范围 f x f xk 2.利用导数研究与不等式有关的问题是高考的热点，常以解答题形式出现，难度较大.常涉及不等式成立、 恒成立、证明不等式、比较两数（两函数）大小问题等.问题的分类与解决思路：（1）不等式成立、恒成 立问题：一般参变分离、转化为最值问题；（2）证明不等式、比较两函数大小问题：构造新函数，转化 为最值问题. 【2020 年高考全国卷理数 21】已知函数 2 sinsin2f xxx （1）讨论在区间的单调性； f x0, （2）证明：； 3 3 8 f x （3）设，证明： * nN 2222 3 sinsin 2 sin 4sin 2 4 n n n xxxx 【2020 年高考天津卷 20】已知函数，为的导函数 3 ( )ln ()f xxkx kR( )fx ( )f x 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 （）当时， 6k （i）求曲线在点处的切线方程； ( )yf x(1,(1))f （ii）求函数的单调区间和极值； 9 ( )( )( )g xf xfx x （）当时，求证：对任意的，且，有 3k 12 ,1,)xx 12 xx 1212 12 2 fxfxf xf x xx 2.2.命题方向预测：命题方向预测： 1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点 2.选择题、填空题侧重于考查导数的运算及导数的几何意义，解答题侧重于利用导数研究函数的单调性、 极值、最值等，往往与函数、解析几何、不等式、数列等交汇命题，一般难度较大. 3.利用导数解决生活中的最优化问题，近几年考查也较多. 3.3.课本结论总结：课本结论总结： 1 函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程f(x)0 的根； 检查f(x)在方程f(x)0 的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 3 函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在 a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 4 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答 5 不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题 (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问 题 4.4.名师二级结论：名师二级结论： （1）利用导数研究方程根的方法 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求， 画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求 解有一个清晰、直观的整体展现 （2）导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略 (1)利用导数证明不等式证明f(x)

6.6.考点交汇展示：考点交汇展示： (1)(1)导数与函数零点交汇导数与函数零点交汇 例 1 （2019 浙江）已知，函数若函数 , a bR 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x 恰有 3 个零点，则 ( )yf xaxb Aa<1，b<0 Ba0 Ca1，b1，b0 例 2 【2019 年高考全国卷理数】已知函数，为的导数证明： ( )sinln(1)f xxx( )fx( )f x （1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有 2 个零点 ( )fx ( 1,) 2 ( )f x (2)(2)导数与不等式交汇导数与不等式交汇 例 3【2019 年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式aR 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxax f x xaxx x 在上恒成立，则的取值范围为( )0f x Ra AB C D 0,10,20,e 1,e 例 4.【2019 年高考浙江】已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有( ), 2 x f x a 求a的取值范围注：e=2.71828为自然对数的底数 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 (3)(3)导数与三角函数、不等式、函数零点交汇导数与三角函数、不等式、函数零点交汇 例 5. 【2019 年高考天津理数】设函数为的导函数( )e cos ,( ) x f xxg x f x （）求的单调区间； f x （）当时，证明；, 4 2 x ( )( )0 2 f xg xx （）设为函数在区间内的零点，其中，证明 n x( )( ) 1u xf x2,2 42 nn nN 2 00 2 2sinc s e o n n nx xx 【考点分类】 热点热点 1 1 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 1 （2020湖南省高三模拟）已知函数 2 11 x f xmxxemR . （1）讨论函数 f x 的单调性；（2）证明：当 1 ,1 3 x 时， 23 f xmxx . 热点热点 2 2 利用导数研究方程根的个数问题利用导数研究方程根的个数问题 1 （2020安徽省高三二模）已知函数 2 ln 2 a f xxxx . （1）若函数 f x 在定义域内是增函数，求实数 a 的取值范围； （2）当 1,ae 时，讨论方程 2 a f xax 根的个数. 2.（2020黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三）已知函数 ( )(2)ln x f xxeaxax （a R ） （1）若 1x 为 ( )f x 的极大值点，求a的取值范围；. （2）当 0a 时，判断 ( )yf x 与x轴交点个数，并给出证明. 热点热点 3 3 利用导数研究函数零点个数问题利用导数研究函数零点个数问题 1 （2020河北省衡水中学高三）已知函数 2 2 ,1 109,1 x xxex f x xxx ，若函数 yf xax 恰有三个 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1,4 B 1,16 C 1,01,16 D 01,4U 2 （2020浙江省高三期末）已知函数 2 ee x f xmxmx . （1）当 0m 时，求曲线 yf x 在点 0,0f 处的切线方程； （2）当 0m 时，证明： fx 在( ) 0,1 内存在唯一零点. 热点热点 4 4 利用导数解决不等式恒成立问题利用导数解决不等式恒成立问题 1 （2019福建省高三）已知函数 ( ) x e f xax x ， (0,)x ，当 21 xx 时，不等式 12 21 f xf x xx 恒 成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A( , e B( , ) e C , 2 e D , 2 e 2 （2020湖南省长郡中学高三）已知函数 lnf xx ， x g xe （1）若 1 1h xf x ex ，求证： h x 有且只有两个零点； （2）不等式 1 12 m m gxxf x x 对 0 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 【方法规律】 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证 明对任意xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小 值为 0 即可解题技巧总结如下： （1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来） ，如函 数的单调性。