中考数学总复习等腰三角形专项练习.pdf

中考数学总复习等腰三角形1在 ABC中，ABC 30， BAC 70. 在ABC所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形， 使其中的一个是等腰三角形， 则这样的直线最多可画( ) A7 条 B 8 条C9 条D10 条2. 如图，在 ABC中，AB AC ，A30，DE垂直平分 AC ，则BCD的度数为( ) A80 B75 C65 D453. 如图，已知AOB60，点P在边OA上，OP12，点M，N在边OB上，PMPN，若MN2，则OM( )A3 B4 C5 D6 4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6. 将该矩形纸片剪去3 个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是() A6 B3 C2.5 D2 5. 如图，在 ABC中，AB AC ，AD是BAC的平分线已知 AB 5，AD 3，则BC的长为( ) A5 B 6 C 8 D 10 6. 如图，已知直线l1l2，将等边三角形如图放置，若40，则等于_7. 如图钢架中，焊上等长的 13 根钢条来加固钢架若 AP1P1P2P2P3P13P14P14A，则A的度数是 _8. 在ABC中，C是最小内角若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的伴侣分割线 例如：如图 1，ABC中，A90，C20，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且DBC20，则直线BD是ABC的关于点B的伴侣分割线(1) 如图 2，ABC中，C20，ABC110. 请在图中画出ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2) ABC中，设B的度数为y，最小内角C的度数为x. 试探索y与x应满足什么要求时，ABC存在关于点B的伴侣分割线9. 如图，抛物线 yax2bx 过 A(4，0) ，B(1，3) 两点，点 C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线 BH x轴，交 x 轴于点 H. (1) 求抛物线的表达式；(2) 若点 M在直线 BH上运动，点 N在 x 轴上运动，当以点C、M 、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN 的面积解析：第 (2) 题分别以点 C，M ，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求 CM 或 CN的长，利用面积公式进行计算10. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为3 的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3 的边上标注数字 3) 11. 在等腰RtABC中，C90，AC 1，过点 C作直线 l AB ，F是 l 上的一点，且 AB AF，求点 F到直线 BC的距离12. 如图，已知抛物线yax2bxc(a 0) 经过 A(1，0) ，B(3，0) ，C(0，3) 三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 点 M是直线 l 上的动点，且 MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M的坐标13. 如图，在 ABC 中，AB AC ，BAC 90，BD是ABC 的平分线， CE BD ，垂足是 E，BA和 CE的延长线交于点 F. (1) 在图中找出与 ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2) 证明：BD 2EC. 参考答案 : 1. C 2. D 【解析】BCA12(180A)75，BCDBCADCABCAA753045. 3. C 【解析】作PQMN于Q，由PMPN知PQ垂直平分MNMQ1. AOB60，OP12，OQ12OP6，OMOQMQ615. 4. C 【解析】 如图，以BC为边作等腰直角三角形EBC， 延长BE交AD于F， 得ABF是等腰直角三角形，作EGCD于G，得EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去ABF，BCE，ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分的面积最小，最小值为 461244123612332.5 ，故选 C. 5. C 【解析】 AB AC ，AD是BAC的平分线， AD BC ，BD CD ，BDAB2AD24，BC 2BD 8，故选C. 6. 20 【解析】过点A作ADl1，根据平行线的性质可得BAD.ADl2，从而得到DAC40. 再根据等边ABC可得到BAC60，BADBACDAC604020. 7. 12 【解析】 设Ax， AP1P1P2P2P3P13P14P14A， AAP2P1AP13P14x，P2P1P3P13P14P122x，P3P2P4P12P13P113x，P7P6P8P8P9P77x，AP7P87x，AP8P77x. 在AP7P8中，AAP7P8AP8P7180，即x7x7x180，解得x12. 8. 解：(1) 画图正确，角度标注正确，如图(2) 考虑直角顶点，只有点A，B，D三种情况当点A 为直角顶点时，如图，此时y90 x. 当点 B 为直角顶点时，再分两种情况：若DBC 90，如图，此时y9012(90 x) 13512x. 若ABD 90，如图，此时y90 x. 当点 D为直角顶点时，又分两种情况：若 ABD是等腰三角形，如图，此时y45(90 x) 135x. 若DBC 是等腰三角形，如图，此时x45，45y909. 解：(1) 把点 A(4，0)，B(1，3) 代入抛物线 yax2bx 中，得016a4b，3ab，解得a1，b4，抛物线表达式为： yx24x (2) 点 C 的坐标为 (3，3)，点B的坐标为 (1，3)，以点 C，M ，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且 M在 x 轴上方时，如图 2，CM MN ，CMN 90，则 CBM MHN ， BC MH 2，BM HN 321，M(1，2) ，N(2，0) ，由勾股定理得 MC 22125，SCMN125552；以点 M为直角顶点且 M在 x 轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形： RtNEM 和 RtMDC ，得 RtNEM RtMDC ，MD ME 2，EM CD 5，由勾股定理得 CM 225229，SCMN122929292；以点 N为直角顶点且 N在 y 轴左侧时，如图 4，CN MN ，MNC 90，作辅助线，同理得 CN 325234，SCMN12343417；以点 N 为直角顶点且 N在 y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得 CN 321210，S CMN1210105；以 C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形综上所述， CMN 的面积为52或292或 17 或 5 10. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3 的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类11. 解：如图 a，延长 AC ，作 FD BC于点 D，FE AC于点 E，易得四边形 CDFE是正方形，则CD DF FE EC.在等腰直角 ABC中，AC BC 1，AB AF ，AB AC2BC212122， AF2. 在 RtAEF中， (1EC)2EF2AF2，即 (1 DF)2DF2(2)2，解得 DF 312；如图 b，延长 BC ，作 FD BC于点 D ，延长 CA ，作 FE CA于点 E，易得四边形CDFE 是正方形，则 CD DF FE EC.在 RtAEF中，(EC1)2EF2AF2，即(FD1)2FD2(2)2，解得 FD 312. 综上可知，点F 到 BC的距离为312或31212. 解：(1) 将 A(1，0)，B(3，0) ，C(0，3) 代入抛物线 yax2bxc 中，得abc0，9a3bc0，c3，解得a1，b2，c3，故抛物线的解析式为yx22x3 (2) 如图，抛物线的对称轴为xb2a1，设 M(1，m)，已知 A(1，0)，C(0，3) ，则 MA2m24，MC2(3m)21m26m 10，AC210. 若 MA MC ，则MA2MC2，得 m24m26m 10，解得 m 1；若 MA AC ，则 MA2AC2，得m2410，得 m 6；若 MC AC ，则 MC2AC2，得 m26m 1010，得 m10，m26，当 m 6 时，M ，A，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去综上可知，符合条件的M点的坐标为 (1 ，6)(1 ，6)(1 ，1)(1 ，0) 13. 解：(1) ABD ACF ，证明： AB AC ，BAC 90， FAC BAC90， BD CE ，BAC 90， ADB EDC ， ABD ACF ， ABDACF(ASA) (2) ABD ACF ， BD CF ，BD CE ，BEF BEC ，BD是ABC的平分线， FBE CBE ， BE BE ， FBE CBE(ASA) ，CF 2CE ，BD 2CE 。