高三数学选修2-3_典型例题：统计案例.pdf

1 / 6统计案例【典型例题】例 1 为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查了 10 个家庭，数据如下：i（家庭编号）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ix（收入）0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 iy（支出）0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 求回归直线方程解：列表i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ix0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2 2 2.4 2.8 iy0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 ixiy0.56 1.1 1.56 1.5 1.95 2.7 2.6 3.4 4.8 7.0 2ix0.64 1.21 1.69 2.25 2.25 3.24 4.0 4.0 5.76 7.84 2iy0.49 1.0 1.44 1.0 1.69 2.25 1.69 2.89 4.0 6.25 72.1x，42.1y88.3221inix，7 .2221iniy，17.271iiniyx013.0,833.0,950.0abr 回归直线013.0833.0 xy例 2 线性回归方程abxy ?过定点。

解：xbyaxbybxy ?)(?xxbyy 过定点（yx,）2 / 6例 3 某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：i（年）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x（户数，万户）1 1.2 1.6 1.8 2 2.5 3.2 4 4.2 4.5 y（煤气量，百方米 3） 6 7 9.8 12 12.1 14.5 20 24 25.4 27.5 （1）检验是否线性相关；（2）求回归方程；（3）若该市政府计划下一步再扩大5 千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ix1 1.2 1.6 1.8 2.0 2.5 3.2 4 4.2 4.5 iy6 7 9.8 12 12.1 14.5 20 24 25.4 27.5 ixiy6 8.42 15.68 21.6 24.2 36.25 64 96 106.98 123.75 2ix1 1.44 2.56 3.24 4 6.25 10.24 16 17.64 20.25 2iy36 49 96.04 144 146.41 210.25 400 576 645.16 756.25 83.15,6 .2yx998.0r线性相关07.0,06.6ab07.006.6?xy55. 05.40 x代入37.30? y 煤气消耗量将达 3037万米3例 4 某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 检验每册书成本费y 与印刷册数倒数x1之间是否具有线性相关关系，如有，求 y 对 x 的回归方程。

解：首先设变量xu1，题目所给的数据变成如下表所示的数据：3 / 6iu1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 iy10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 经计算得75.09998.0r，从而认为 u与 y 之间具有线性相关关系，由公式得973. 8?,125.1?ba，所以uy973.8125. 1?最后回代xu1，可得xy973.8125.1?例 5 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元） ，有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？（3）计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和4）求2R并说明模型的拟合效果解析： （1）列表如下：i1 2 3 4 5 x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 ixiy4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 2x4 9 16 25 36 3 .112,90, 5, 451251iiiiiyxxyx23.145905453 .112552225151xxxyyxbiiiii于是08.0423.15xbya4 / 6 线性回归方程为：08.023.1xy（2）当10 x时，38.1208.01023.1? y（万元）即估计使用 10年时维修费用约是12.38万元。

3）总偏差平方和：78.15)(21yyini残差平方和：54. 208.046. 2?1y46.7?,23.6?, 5?,77. 3?5432yyyy，651. 0)?(21iiniyy回归平方和：129.15651.078.15（4）9587.078.15651.01)()?(121212yyyyRiniiini模型拟合效果较好，使用年限解释了95.87%的维修费用支出例 6 有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视68 42 110 少看电视20 38 58 总计88 80 168 则大约有的把握认为多看电视与人变冷漠有关系解：根据表中的数据，得到635.6581108088)20423868(1682k，所以大约有 99%把握认为多看电视与人变冷漠有关系例 7 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多合计5 / 6喜欢玩游戏18 9 27 不喜欢玩游戏8 15 23 合计26 24 50 则认为喜欢游戏与作业量的多少有关系的把握大约为（）A. 99% B. 95% C. 90% D. 无充分依据解：由表中数据得841.3059.523272426)981518(5022K，所以约有 95%的把握认为两变量之间有关系。

选B例 8 在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24 人，不晕机的有 31 人；女乘客晕机的有8 人，不晕机的有 26 人请你根据所给数据判定是否在恶劣气候飞行中男人比女人更容易晕机？解：根据题意，列出列联表如下晕机不晕机合计男24 31 55 女8 26 34 合计32 57 89 则706.2689.357323455)8312624(8922K 90%的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机例 9 为了调查某生产线上，某质监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：产品正品数次品数合计甲在现场982 8 990 甲不在现场493 17 510 合计1475 25 1500 6 / 6试用独立性检验的方法对数据进行分析解：因为636.6097.13990510251475)849317982(150022K，所以约有 99%的把握认为“ 质量监督员甲在不在现场与产品质量有关系” 例 10 一只红铃虫的产卵数y 和温度 x 有关现收集了 7 组数据于下表，试建立 y 与 x 之间的回归方程温度 x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y/个7 11 21 24 66 115 325 解：依题意，把温度作为解释变量x，产卵个数 y 作为预报变量， 作散点图，由观察知两个变量不呈线性相关关系，但样本点分布在某一条指数函数xcecy21周围。

令21ln,ln,lncbcayz，则abxz此时可用线性回归来拟合843.3272.0 xz，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为843.3272. 0 xeY。