数学建模期末考试2018A试题目与参考.doc

华南农业大学期末考试一试卷（A卷）2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模考试种类：（闭卷）考试学号姓名考试时间：120年级专业分钟题号一二三四五六七八总分得分评阅人一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白得分菜从河岸一边带到河岸对面，因为船的限制，一次只好带同样东西过河，绝不可以在无人看守的状况下将狼和羊放在一同；羊和白菜放在一同，如何才能将它们安全的带到河对岸去?成立多步决议模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i=1，2，3，4，当i在彼岸时记xi=1，不然为0；彼岸的状态下用s=（x1，x2，x3，x4）表示该问题中决议为坐船方案，记为d=(u1,u2,u3,u4)，当i在船上时记ui=1，不然记ui=01) 写出该问题的全部同意状态会合；（3分）(2) 写出该问题的全部同意决议会合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率3分）(4) 利用图解法给出渡河方案.（3分）解：(1)S={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2)D={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)}（6分）(3)sk+1=sk+(-1)kdk（9分）(4)方法：人先带羊，而后回来，带狼过河，而后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，而后再回来把羊带过去。

或:人先带羊过河，而后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，而后放下羊，把狼带过去，最后再展转来，带羊过去12分）1、二、(满分12分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差异很大，得分请就下边两种假定，成立一个举重能力和体重之间关系的模型：（ 1）假定肌肉的强度和其横截面的面积成比率6分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸没关，请给出一个改良模型6分解：设体重w（千克）与举重成绩y（千克）（ 1）因为肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比率，所以yIS设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则Sh2再体重正比于身高的三次方，则wh3故举重能力和体重之间关系的模型为：2（6分）（2）ykw3体重中与成年人尺寸没关的重量为a,则一个最大略的模型为2(12分)yk(wa)3三、(满分14分)某学校规定，运筹学专业的学生毕业时一定至得分少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课这些课程的编号、根源于网络名称、学分、所属类型和先修课要求以下表所示那么，毕业时学生最少能够学习这些课程中哪些课程?课程编号课程名称1微积分2线性代数3最优化方法4数据结构5应用统计6 计算机模拟7 计算机编程8展望理论9数学实验记i=1，2，，9表示学分所属类型先修课要求5数学4数学4数学；运筹学微积分；线性代数3数学；计算机计算机编程4数学；运筹学微积分；线性代数3计算机；运筹学计算机编程2计算机2运筹学应用统计3运筹学；计算机微积分；线性代数9门课程的编号。

设xi1表示第i门课程选修，xi0表示第i门课程不选,成立数学规划模型(1) 写出问题的目标函数(4分)(2) 每人起码学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此拘束条件?(5分)(3) 某些课程有先修课要求,如何表示此拘束条件?(5分)解9(1)minZi1xi(4分)(2)x1x2x3x4x52x3x5x6x8x93(9分)(3)x3x1,x3x2x8x5(14分)四、(满分10分)雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加快度g有得分关，此中粘滞系数的量纲[]=L1MT11，用量纲剖析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,g的关系为f(v,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=L1MT1[g]=LM0T-2,此中L，M，T是基本量纲.(3分)量纲矩阵为1311(L)0110(M)A=012(T)1(v)( )()(g)齐次线性方程组Ay=0，即的基本解为y=(-3,-1,1,1)(7分)根源于网络由量纲PI定理得v31g.v3g，此中是无量纲常数.(10分)得分五、(满分12分)设某种群t时刻的数目为x(t),初始数目为x0,(1)写出种群数目的指数增加模型并求解;(2) 设允许的资源环境最大数目为N,写出种群数目的阻滞增加模型(logistic),并求其均衡点.解(1)xrxx0erx(3分)x(t)(6分)(2)x(t)rx(1x)(9分)x)Nrx(10,均衡点为x0和xN(12分)N六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动得分物，又长着旺盛的植物。

爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依靠植物生计，假定食肉爬行动物和哺乳动物单独生计时听从Logistic变化规律，植物单独生计时其数目增加听从指数增加规律现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能开释某些化学物质对吃食的哺乳动物产生必定的迫害作用经过合适的假定，成立这三者间的关系模型.解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数目分别为x123(t),x(t),x(t)k，（3假定单位数目的植物所开释的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的迫害作用率为分）x1x1(r11x2)x2x2[r2x2(2k)x1x3]（10分）K2x3x3(r3x33x2)K3七、（满分15分））经过一番打听及亲自体验，你准备从三种车型（记为得分a,b,c)中选出一种购置，选择的标准主要有价钱，耗油量大小，舒坦程度和表面雅观经频频思虑比较，结构了它们之间的成对照较矩阵已知其最大特色值近似为4.1983.此外，以下矩阵分别是三种车型对于价钱、耗油量、舒坦度、及你对它们表面的喜爱程度的成对照较阵：此中矩阵C1,C2,C3,C4的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种标准的优胜性的比较尺度.假定这些成对照较阵（包含A）都经过了一致性查验，且已知C1,C2,C3,C4的最大特色值与对应的归一化特色向量（见下表）：矩阵最大特色值对应归一化特色向量C13.009(0.53960.29700.1634)C23.119(0.10560.74450.1499)C33.086(0.62670.27970.0936)C43.065(0.18840.73060.0810)(1) 依据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的次序排出(5分)；(2) 分别确立哪一种车最廉价、最省油、最舒坦、最美丽(5分)；(3) 确立你对这三种车型的喜爱程度（用百分比表示）(5分)；根源于网络解：记4个准则价钱，耗油量大小，舒坦程度和表面雅观分别为C1，C2，C3，C4，则C1:C23即C1比C2的影响稍强C2:C35即C2比C3的影响强C3:C43即C3比C4的影响稍强所以四项标准在心目中的比重由重到轻的次序为：价钱、耗油量大小、合适程序、外观雅观(5分)(2)考虑比较阵C1a122表示车型a的价钱优胜性高于车型b，即车型a比车型b廉价a232表示车型b的价钱优胜性高于车型c，即车型b比车型c廉价所以最廉价的车型为a.(7分)同理可得最省油的车型为b；(8分)最舒坦的车型为a；(9分)最美丽的车型为b。

3)(10分)车型a的组合权重（ 0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41车型b的组合权重（ 0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44车型c的组合权重T（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)=0.15(13分)车型a，b，c的喜爱程度分别为41%，44%，15%（15分）得分八、（满分15分）A,B,C三个厂家都生产某产品，2009年它们在某地域的市场据有率2009年分别为：A厂家:40%,B厂家:40%,C厂家:20%已知在每年各个厂家之间的市场据有率转移的基本状况是：A厂家的客户有60%持续用该厂家的产品，20%转为B厂家，20%转为C厂家；B厂家的客户有80%持续用该厂家的产品，10%转为A厂家，10%转为C厂家；C厂家的客户有50%持续用该厂家的产品，10%转为A厂家，40%转为B厂家1）展望2010年哪个厂家的市场据有率最大。

6分）（2）经过很长时间此后，哪个厂家的市场据有率最大？（6分）解：状态转移概率矩阵为：0.60.20.2P0.10.80.1（2分）0.10.40.5a(0)(0.4,0.4,0.（4分）0。