复变函数辐角原理及其应用.ppt

6.3 辐角原理及即应用6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇定理定义：形如积分称为f(z)的对数留数主要作用：推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方 法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多 项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点.6.3.1 对数留数对数留数因 此而得名证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点）,(2)设b为f(z)的m级极点a必为函数的一级极点,且必为函数 的一级极点,且其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是(2)如b为f(z)m级极点在点b的去心邻域内有在点a的邻域内解析,的一级极点,且 a必为 h(z)在点b的邻域内 解析,且h(b)≠0.在点b解析的一级极点,且故b为定理6.9 设C是一条围线,f(z)合条件:(6.26)证 由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只 有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内 部的不同零点,其阶数相应地为nk; bj (j=1,2,…,q)为 f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,(1)f(z)在C内部除可能有极点外是解析的; (2)f(z)在C上解析且不为零 则 有 式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零 点与极点的个数即：f(z)在C内是亚纯的(2)可改为f(z)在C 上连续且不为零特别注意几阶算几个.在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p) 及bj(j=1,2,…q)均是解析的.故由留数定理6.1,及引理6.4得则根据引理(6.4)知,例 计算积分∆Cargf(z)表示z 沿C之正向绕行 一周时argf(z)的 改变量(6.27)特别说来,如f(z)在周线 C上及C之内部均解析, 且f(z)在C上不为零,则(6.28)6.3.2 辐角原理(2) f(z)在C内是亚纯的 (3) f(z)在C上连续且不为零(1) C是一条周线辅角原理 xyOuvOw=f(z )例6.21 设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证辐角原理argf(z)=arg((z-1)(z-2)2(z-4))N(f(z),C)=3argf(z)=arg(z-1)+arg (z-2)2+arg (z-4) =arg(z-1)+2arg (z-2)+arg (z-4)xyOuvOw=z-1|w+1|=3|z|=3w=z-2|w+2|=3w=z-4|w+4|=3=6例6.22 设n次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面 Rez0,及6.3.3 儒歇(Rouche)定理设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C; (2)在C上, |f(z)|>|(z)| f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即(6.30)由关系式 (6.31)这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+(z)都满足定 理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是 由(6.28),下面只须证明C0z图6.14根据条件(2), 当z沿C变动时将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,借助函数201即是说,点 不会围着原点=0 绕行. 全在圆周|-1|=1的内部.推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0）满足条件：|at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|则p(z)在单位圆|z||a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多 的零点，即为n-t个推论2: n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）1.首先证明存在R>0，有n个根 R方程在圆|z|0无 根证 明1.令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ …+an=0 则当|z|=R时， |(z)|≤| a1zn-1|+ …+|an|= | a1|Rn-1+ …+|an-1|R+|an| ≤( | a1|+ …+|an-1|+|an|) Rn-1 1限定| a1|+ …+|an|≤|a0|R所以只要取有:当|z|=R时,| f(z)|>|(z)|, f(z),(z)在|z|≤R上解析 N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n即：N(p(z),C)=n2.z0: |z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|>0|(z0)| | a1z0n-1|+ …+|an| = | a1|R0n-1+ …+|an-1|R0+|an|  ( | a1|+ …+|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+(z0)| |f(z0)|-|(z0)|>0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ …+an 0 定理 6.11如函数f(z)在D内单叶解析则在D内f (z)≠0.证: (反证法) 若有D的点z0使 f (z0)≠0,则z0必 为f(z)- f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性, 故存在>0 ,使在圆周 C: |z-z0|=上:f(z)- f(z0)≠0, 在C的内部, f(z)- f(z0)及f /(z)无异于z0的零点. 命m表|f(z)- f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定 理即知,当0<|-a|