第6讲解析几何选择压轴题（解析版）.docx

第6讲 解析几何选择压轴题1．（北京海淀区·高三期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，．这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，， 的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是（ ）A．6 B．8 C． D．【答案】A【分析】在椭圆上任取一点，可证明，可得 ，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，当且仅当 为直线与椭圆交点时取等号，即可求解．【解析】在椭圆上任取一点，连接交球于点 ，交球于点，连接，， ，，，在与中有： ，（为球的半径），， 为公共边，∴，∴，设点沿圆锥表面到达的路线长为，则，当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，，∴最小值为，故选A．【名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求．2．（北京高三二模）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】要满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，而且点P在函数y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【解析】过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行，y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1，∴P（0，1），于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，∴，解得a＝﹣1或a＝3，又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为，∴不满足，故a＝3，故选C．【名师点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．3．（北京延庆区·高三模拟）在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线方程得直线横过定点，再将求半径最值转化为求点到直线距离的最值问题．【解析】由直线方程可得该直线横过定点，又由相切可得该圆的半径等于圆心到直线的距离，最大值为，故选B．【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．（北京延庆区·高三模拟）已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出坐标，根据长度以及抛物线的焦半径公式求解出的值，则的横坐标可求．【解析】设，∵，∴，∴，故选B．【名师点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则．5．（北京西城区·高三一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；【解析】由得，，∴，即；消去得，∴，或（舍去），即；同理即；消去得，∴，或（舍去），即；∴，即两条反射光线和之间的距离为故选C6．（北京海淀区·高三期中）已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三个点的坐标可知，点在抛物线上，为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果．【解析】由，，可知，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若是等边三角形，则，根据抛物线的定义可知，两点到准线的距离相等，∴直线与轴平行，其斜率为0，若直线的斜率为0，则两点到准线的距离相等，则，只能得到是等腰三角形，不能推出是等边三角形，∴“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的充分不必要条件．故选A【名师点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键．7．（北京东城区·高三一模）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到，将其代入椭圆方程得到，根据离心率公式得到，解方程可得结果．【解析】由得，不妨设在第一象限，∵轴，，∴，又在椭圆中，，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，整理得，解得或（舍），故选A【名师点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．利用椭圆的右焦点与抛物线的交点重合得到，将其代入椭圆方程得到，根据离心率公式可得关于的等量关系．8．（北京石景山区·高三一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切．则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）A． B． C． D．6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质可得边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为边的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案．【解析】∵在中，∴边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线∵点，点，∴∵直线的斜率为，∴的垂直平分线的斜率为∴的垂直平分线方程为，即∵“欧拉线”与圆相切∴可得圆心到“欧拉线”的距离为圆心到直线的距离为由圆的对称性可知，圆上的点到直线的距离的最小值为故选A.【名师点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线的距离，再由对称性得出最小值．9．（北京朝阳区·高三一模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（ ）A．8 B． C． D．6【答案】B【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值．【解析】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设 ，由题意知，直线l方程为，则，得，∴，得 ，由，当三点共线时取等号，又 ，∴的最小值为，故选B。

名师点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，将化为，利用三点共线是求得最小值的关键点．10．（北京门头沟区·高三一模）在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为M，则点与点M的距离的最小值是（ ）A． B． C． D．17【答案】A【分析】首先求出直线过定点，依题意可得在以为直径的圆上，求出圆的方程，即可判断点在圆外，求出到圆心的距离，减去半径即为距离最小值；【解析】∵，∴，∴，解得，∴直线过定点；从点向直线作垂线，垂足为M，则在以为直径的圆上，∵，，∴的中点为，，∴圆的方程为，即的轨迹方程为，∵，，∴点在圆外，，∴，故选A11．（北京大兴区一模）抛物线的焦点为．对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为（ ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由抛物线的定义可得准线垂直时，为等腰三角形，线段的垂直平分线交准线于点此时为等腰三角形，∴点与重合，即可得为等边三角形，利用即可求解．【解析】∴准线垂直时，由抛物线的定义可得，此时为等腰三角形，作线段的垂直平分线交准线于点，则，此时为等腰三角形，∵若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，∴与重合，∴，∴，∴为等边三角形，，，∴，整理可得：，解得：或（舍），∴则点的横坐标为，故选D。

名师点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是紧扣准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，可得准线垂直时的点应该是线段的垂直平分线与准线的交点，可得为等边三角形．12．（北京海淀区·首都师大二附高三开学考试）曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称； ②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则．其中真命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题得曲线的轨迹方程为：，再依次讨论即可．【解析】点在曲线上，则有，化简得：．对于①，将换为，表达式不变，故①正确．对于②，∵，∴，∵ ，∴，∴，故②正确．对于③，∵，，∴ ，，∴ ，∴，∴，故③正确．故选D．【名师点睛】本题考查曲线的轨迹方程，利用方程研究曲线的性质，考查运算求解能力．本题解题的关键在于根据已知条件得曲线上的点满足，再分类讨论得曲线的方程，进而求解．13．（北京大兴区一模）已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，点在圆上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项．【解析】由题意可得，即，即点在圆上，，∴原点在圆内，如下图所示：圆的圆心为，半径为，由三角不等式可得，即，∴B选项合乎要求．故选B．【名师点睛】结论点睛：若点在圆内，为圆上一点，则．14．（北京朝阳区高三期末）在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解．【解析】∵直线与曲线都关于原点对称，且都过原点，∴为原点，，关于点B对称，∵直线：（）上存在点满足，∴，则点B到直线的距离不大于1，即，解得或，∴实数的取值范围是．故选D。

15．（北京房山区高三期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线．给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；③当时，直线与黑色阴影区域有个公共点．其中所有正确命题的序号是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据图形的特征，注意到直线l恒过定点(2，0)，利用直线与圆相切的条件和圆的面积公式，对选项进行逐一分析即可．【解析】如图所示：大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为，小圆面积为，∴大圆的四分之一面积为，小圆的一半面积为， 对①：当a=0时，直线方程为 y=0，即直线l为x。