新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册全册各章节学案（知识点考点汇总及配套习题含解析）.docx

第五章 数列5.1　数列基础5.1.1　数列的概念学 习 目 标核 心 素 养1.理解数列的概念．(重点)2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(易错点)1.通过数列概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理的数学素养.“朋友圈”中的数学在朋友圈，信息的传播速度是惊人的，正所谓“一传十，十传百，百传千，千传万，…”我们能否用下面一列数来记录这一传播过程：1,10,100,1 000,10 000，…1．数列的概念及一般形式思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？[提示]　不同，顺序不一样．2．数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列3.数列的通项公式一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．思考2：数列一定有通项公式吗？[提示]　不一定．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})解析式数列的通项公式值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法思考3：数列所对应的图像是连续的吗？[提示]　不连续．拓展：(1)解读数列的通项公式①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．(2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“”)(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列．(　　)(2){an}与an是一样的，都表示数列．(　　)(3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列． (　　)(4)数列1,2,3,4可表示为{1,2,3,4}． (　　)[答案]　(1)　(2)　(3)　(4)2．(教材P7练习AT2(3)改编)已知数列{an}的通项公式为an＝，那么a5＝(　　)A. B. C. D.B　[∵an＝，∴a5＝＝，故选B.]3．数列0,1,2,3,4，…的一个通项公式可以为(　　)A．an＝n－1 B．an＝nC．an＝n＋1 D．an＝n2－1A　[结合选项可知，an＝n－1，故选A.]4．下列说法正确的是________(填序号)．①1,1,1,1是有穷数列；②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．①②　[因为1,1,1,1只有4项，所以①正确；②正确；数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．] 数列的概念及分类【例1】　已知下列数列：①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020；②1，，，…，，…；③1，－，，…，，…；④1,0，－1，…，sin，…；⑤2,4,8,16,32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．2．判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点．判断是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的个数有限还是无限．1．给出下列数列：①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.②无穷多个构成数列， ， ， ，….③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．①　②③　①　②　③　[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]由数列的前几项求通项公式【例2】　(教材P5例2改编)写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，，8，，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)，，，，…；(4)－，，－，，….[思路点拨]　先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．[解]　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N＋)．1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征．并对此进行归纳、联想．2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)1，2，3，4，…；(4)1,11,111,1 111，….[解]　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．数列通项公式的应用[探究问题]1．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．2．若数列{an}满足an＋1－an>0，∀n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增数列吗？[提示]　是．因为an＋1－an>0，故an＋1>an，所以数列{an}是递增数列．【例3】　已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的增减性．[思路点拨]　先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．[解]　(1)∵f(x)＝x－，f(an)＝－2n，∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0，解得an＝－n，∵an>0，∴an＝－n.(2)法一：(作差法)∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)＝－－1＝－1＝－1，又>n＋1，>n，∴<1.∴an＋1－an<0，即an＋10，∴＝＝<1.∴an＋10，∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列.1．{an}与an是含义不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．2．要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 1．下列叙。