第九章 立体几何专练2—基本立体图形（提升练）-高三数学一轮复习.doc

第9章 立体几何专练2—基本立体图形（提升练）1、 单选题1．将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为　　A． B． C． D．2．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为　　A． B． C． D．3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由1和1开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为　　A． B． C． D．4．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为　　A． B． C． D．5．如图，圆柱的轴截面是正方形，，分别是和的中点，是弧的中点，则经过、、的平面与圆柱侧面相交所得到的曲线的离心率是　　A．1 B． C． D．6．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，则　　A． B． C． D．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，，点在棱上运动，设的长度为，若的面积为，则的图象大致为　　A． B． C． D．8．如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是　　A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为 B． C．如果，则与重合 D．如果，则圆柱的体积为2、 多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是　　A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小10．已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是　　A．圆锥的侧面积是 B．与底面所成的角是 C．面积的最大值是 D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为11．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是　　A．棱台的侧面积为 B．棱台的高为 C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是　　A．圆锥的高为1 B．三角形面积的最大值为 C．三角形内切圆半径的最大值为 D．圆锥外接球的体积为3、 填空题13．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为 　　．14．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知与圆锥底面所成的角为，则圆锥的表面积为 　　．15．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则的面积的取值范围为 　　．16．“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图．如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中与为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为，半径为1．用平行于底面的平面去截“四脚帐篷”所得的截面图形为 　　；当平面经过的中点时，截面图形的面积为 　　．4、 解答题17．将半径为的圆形铁皮剪去一个圆心角为的扇形，用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器，该圆锥的高记为，体积为．（1）求体积有关的函数解析式．（2）求当扇形的圆心角多大时，容器的体积最大．18．如图所示，有一块矩形铁皮，，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面．试求：（1）矩形铁皮的长度；（2）做成的圆锥体的体积．第九章立体几何专练2—基本立体图形（提升练）答案1．解：不妨设半圆的半径为1，用圆心角为的扇形围成的圆锥的底面周长为，设其底面圆的半径为，则，解得，则该圆锥的高，用圆心角为的扇形围成的圆锥的底面周长为，设其底面圆的半径为，则，解得，则该圆锥的高，所以高圆锥与低圆锥的高之比为．故选：．2．解：圆锥的侧面展开图中，扇形所在圆的半径，扇形弧长，所以扇形的面积为；设扇形的底面圆半径为，则，解得，所以底面圆的面积为；所以该圆锥的表面积为．故选：．3．解：由斐波那契数的规律知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，所以接下来的圆弧对应的圆面半径是，对应的弧长是，设圆锥底面半径为，则，解得，所以圆锥的高为．故选：．4．解：由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，因为圆的周长为，所以圆盘与碌碡的半径之比为，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为，所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为．故选：．5．解：设轴截面的正方形的边长为2，设是弧的中点，且与关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴，所以长半轴长，短半轴长，故半焦距为，所以椭圆的离心率为．故选：．6．解：设四棱锥为，三棱锥为，则三棱锥为正四面体，四棱锥为正四棱锥，显然．设，正方形的中心为，正三角形的中心为，连接，，，，则，，，，即，，．故选：．7．解：作于点，作于点，连接到，由已知可得，，且平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，设，则，则，所以，又，解得，所以，故，其函数图像是关于直线对称的图像且开口上，故选项，，错误．故选：．8．解：由为外接球的球心，得；对于，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，选项正确；对于，由于，则为中点，如图所示：因为，，所以，所以，选项正确；对于：若与重合，则，所以与题设矛盾，选项不正确；对于，由，，可得，，所以，又有，则，所以，所以选项正确．故选：．9．解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆柱的侧面积为，故错误；对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥的侧面积为，故错误；对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；对于，圆柱的表面积为，圆锥的表面积为，球的表面积为，圆锥的表面积最小，故正确．故选：．10．解：因为圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，设圆锥的底面圆心为，则，底面半径，所以母线长，故圆锥的侧面积是，故选项正确；因为，是底面圆周上两个动点，则为圆锥的一条母线，又底面圆，则即为与底面所成的角，在中，，所以与底面所成的角是，故选项正确；设，则，且，所以的面积为，所以当，时，的面积最大为2，故选项错误；设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有，可得，则圆柱的侧面积为，由二次函数的性质可知，当时，有最大值为，故选项正确．故选：．11．解：由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，在等腰梯形中，，，，则，，故棱台的侧面积为，故正确，易知为棱台的高，在中，，，在△中，，故错误，棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确，棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误，故选：．12．解：圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，如图所示：所以圆锥的高为，所以选项正确；由于和为底面圆周上两个动点，由于满足，所以为等腰三角形，由轴截面为等腰三角形，且顶角为，当等腰三角形的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以选项错误；设内切圆的半径为，由题意知当的面积取得最大值时取得最大值，由等积法知，，解得，所以内切圆半径的最大值为，选项正确；由题意知，圆锥外接球的半径是轴截面外接圆的半径，由正弦定理得，解得，所以圆锥外接球的体积为，选项正确．故选：．13．解：由题意可知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球，圆台的上底面面积，下底面面积，所以圆台的体积为，又半球的体积为，故旋转体的体积为．故答案为：．14．解：如图所示，设圆锥母线长为，由为等边三角形，且面积为，得，解得；设圆锥底面半径为，由与圆锥底面所成的角为，得；所以圆锥的表面积为：．故答案为：．15．解：如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为，连结，过点作，垂足为点，则，根据题意，为定值2，所以的大小随着的长短变化而变化，如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为；如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为．综上所述，的取值范围为．故答案为：．16．解：由题意，图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，因为底面为正方形，由平行截面的性质可知，用平行于底面的平面去截“四脚帐篷”所得的截面图形为正方形，当平面经过的中点时，因为，则，，又，所以，故，所以截面图形的面积为．故答案为：正方形；．17．解：（1）将半径为的圆形铁皮剪去一个圆心角为的扇形，用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器，该圆锥的高记为，体积为．设圆锥底面圆的半径为，则，．体积有关的函数解析式为．（4分）（2），，（6分）令，．令，．当，递增，当，递减．当，（3）（8分）．，．，（10分）当时，该圆锥的体积最大．（12分）18．解：如图所示，取半圆的圆心记作点，圆面的圆心记作，作交于点，设圆锥底面半径为，圆锥母线长为，则：，；（1）在△中，由勾股定理可得：；；（2）由（1）可得：圆锥的母线长，底面半径，则圆锥的高为：；圆锥的体积为：．。