湖南省名校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案).docx

湖南省名校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,,则( )A. B. C. D.2．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线,则的方程是( )A. B. C. D.3．圆与圆的位置关系是( )A.内含 B.内切 C.外离 D.相交4．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为( )A.1 B.1或3 C.9 D.1或95．已知O空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为( )A. B. C. D.6．如图,正四棱锥的棱长均为2,M,N分别为AB,BC的中点,则点M到直线PN的距离为( )A. B. C. D.7．已知函数,若对任意恒成立,则x的取值范围为( )A. B. C. D.8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点Q在内运动（含边界），且满足，则点Q的轨迹长度为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A. B.C.是曲线的一条对称轴 D.在区间上单调递增10．如图，正方体的体积为8，E，F，G，M分别为，，，的中点，则下列说法正确的是( )A.直线与为异面直线B.向量在向量上的投影向量为C.若Q为上靠近点的四等分点，则4D.线段上存在点P，使得平面11．设圆,直线为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则下列说法正确的是( )A.若圆心C到直线AB的距离为,则B.直线AB恒过定点C.若线段AB的中点为M,则的最小值为D.若,,则三、填空题12．已知事件A与事件B相互独立,且,,则________.13．已知点，，P是直线上一点，则的最小值为__________.14．已知椭圆的左,右焦点分别为,,过原点的直线与C相交于M,N两点,若且,则椭圆C的离心率为________.四、解答题15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求角A的大小;（2）若,,角A的平分线交BC于点D,求线段AD的长.16．已知圆C的圆心在y轴上,且经过点,.（1）求圆C的标准方程;（2）若圆C上存在一点P满足的面积为5,求直线BP的方程.17．图1是棱长为2的正方体，E，F，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，G，H分别是，的中点，过点B，G，H的平面交于点M.（1）求线段的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．在直角坐标系xOy中,点,,动点满足直线与的斜率之积为.记T的轨迹为曲线.（1）求的方程,并说明是什么曲线;（2）过左焦点且与坐标轴不垂直的直线l,与曲线相交于A,B两点,AB的中点为M,直线OM与曲线相交于C,D两点.求四边形ACBD面积的取值范围.19．已知集合,n为正整数且,M为集合S的子集,记表示集合M中元素的个数.(1)当时,,请写出满足条件的集合M；(2)当时,对任意的可以相同),都有,求的最大值；(3)若,,,,均为S的子集,且,求证：一定存在两个不同的子集,,使得.参考答案1．答案：B解析：因为.故选:B2．答案：B解析：直线的方程为,其斜率为1,设直线的斜率为k,,.由题意可知,,,的方程为:,即.故选:B3．答案：D解析：圆,则圆心,半径,圆,则圆心,半径,则,由于,即,故圆与圆的位置关系为相交.故选:D.4．答案：C解析：根据右焦点坐标为，可得，且焦点在x轴上，故，故选：C5．答案：C解析：因为A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，得出，x，y都不是0，当，时，，计算可得，的最大值为，当且仅当时取最大值，当时，，所以的最大值为，故选：C.6．答案：A解析：取底面的中心为O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,,,,则,,,所以,,故点M到直线PN的距离为,故选:A7．答案：B解析：当时,,当时,,故,由可得当时,,当时,,因此对任意的x都有,为奇函数,且当时,单调递减,且,故在R上单调递减,故由得,故对任意的成立,故,解得或.故选:B8．答案：A解析：因为三棱锥为鳖臑，平面，在中，，，，，过B做垂足为T，则，即，所以，因为，，，。

在中，，，，所以，则，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以中，，，，过A作，，即，可得，则过T作，因为T是中点，所以，，所以动点Q在内（含边界）的轨迹为以T为圆心以为半径的半圆，则点Q的轨迹长度为.故选：A.9．答案：AD解析：对于A,因为,所以由图象知,,所以,A选项正确;由图象知,又因为,所以,即,因为,所以,B错误;对于C,当时,,则不是的对称轴,故C错误;对于D,的单调增区间满足:,,即单调增区间为,,当时,增区间为,所以在区间上单调递增,故D正确.故选:AD.10．答案：ABC解析：对于A，取中点J，连接，由于，，与相交，因此与为异面直线，A正确，对于C，若Q为上靠近点的四等分点，，则，故，C正确，对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，由体积为8可得棱长为2，则，，，则，向量在向量上的投影向量为，故B正确，对于D，假设线段上存在点，其中，使得平面，，，设平面的法向量为，则，取，则，，由于平面，所以，，解得，此时P为中点，此时，由于，，故也是平面的法向量，又平面与平面有公共点P，因此平面与平面重合，故平面，故D错误，故选：ABC11．答案：ABD解析：对于A,圆C的半径为,故,A正确,对于B,由题意可知点A,B,在以CP为直径的圆上,设,,其圆的圆心为,故方程为:,化简为,与方程相减可得,则直线AB的方程为,令,解得,因此直线AB恒过定点,因此B正确;对于C,由于,,,故,故,解得,由于函数,均为内的单调递增函数,故为内的单调递增函数,当时,此时PC最小,且最小值为,当PC最小时,故PM的最小值为,故C错误,对于D,由于,故,由选项C可知PC的最小值为,故,故,进而可得,由于,进而可得,即,因此,,故,即,D正确,故选:ABD12．答案：0.7解析：因为事件A与事件B相互独立,,,所以,所以,故答案为:0.7.13．答案：5解析：设M点关于直线的对称点，则，解得，，故，故，故最小值为：514．答案：解析：因为过原点的直线与C相交于M,N两点,,故四边形为矩形,故,又,,所以,则,又,即,且,解得,（由于,故舍去）结合,故,即又,因此,故,解得,故答案为:15．答案：（1）（2）.解析：（1）因,由正弦定理可得.又因为,则,所以,整理得,即.因为,所以,所以,所以.（2）在中,,且,则有,解得（舍去负值）.方法1:由面积,,即,则,线段的长是.方法2:由内角平分线定理有,则,,所以,线段AD的长是.16．答案：（1）（2）或解析：（1）由题意,设圆C的标准方程为,代入点,,解之得,故圆C的标准方程为.（2）解法一:由,可得斜率为,故直线AB的方程为,,由得点P到直线AB的距离,设,则,解得或,即或,当时,直线BP的方程为,当时,直线BP的方程为,综上直线BP的方程为或解法二:因为直线AB的斜率,所以直线AB的方程为,即,,设点P到直线AB的距离为d,则由得,则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移个单位即可,此时该平行线与圆的交点即为点P,设该平行线的方程为,则,解得或,当时,联立,解得或,即或,当时,直线BP的方程为,当时,直线BP的方程为,综上直线BP的方程为或解法三:同解法一得到直线AB的方程为,点P到直线AB的距离,设,其中,则有,联立,解得或,即或当时,直线BP的方程为,当时,直线BP的方程为,综上直线BP的方程为或17．答案：（1）；（2）解析：（1）方法一：在图1中延长与相交于K，延长与相交于，延长与相交于I，连接交于M，如图所示，由，得，求得，.方法二：在图1中过点G作的平行线交于T点，连接交于点M，如图所示，易知，.（2）在图2中，以A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，，，，，设面的法向量，有，令，则，，，，，，，设面的法向量为，有，令，则，，，.则面与面的夹角的余弦值是.18．答案：（1）曲线是以坐标原点为中心,焦点在x轴上,不包括左右两顶点的椭圆,;（2）.解析：（1）直线的斜率为,直线的斜率为,由题意可知:,所以曲线是以坐标原点为中心,焦点在轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为;（2）如图:法一:直线l的斜率存在且不为0,设,,,,联立,整理得,恒成立,且,则,则,即,,直线CD的方程为,与,联立得,设点,到直线的距离分别为,,则,,,四边形ACBD面积,又,所以,故四边形ACBD面积的取值范围为.法二:易知直线l的斜率存在且不为0,设,,,,代入点得,相减得,整理得①;联立,得,所以.;设,,由①得,直线CD方程为,联立,解之得,即.设点,到直线的距离分别为,,则,,.所以四边形ACBD的面积,又,所以,所以,故四边形ACBD面积的取值范围为.19．答案：(1),,,,(2)10(3)证明见解析解析：(1)∵∴集合有：,,,,.(2)取此时M中最小的三个元素时且,且,故满足对于任意的,,,当时,集合M中的元素取从大到小对应的个数,均成立,下证当不成立,作三元子集,,则,对S的任意一个11元子集,必包含某,若,则有成立,与矛盾；若,则元素与矛盾,∴的最大值为10；(3)(反证法)假设对任意的,,①若,三元子集至少有个,与元素只有n个矛盾,②若,若,则,将分成若干组,每组中的两个三元子集都有2个公共元素,不同组中无公共元素.下证,任取一组有k个三元子集,有m个元素,则,当时,,则,当时,,而三元子集有个,至少要有个元素,矛盾.∴一定存在两个不同的子集,使得。