版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1.pptx

第三章3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算1学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.2题型探究问题导学内容索引当堂训练3问题导学4知识点一空间向量数量积的概念思考1答案5思考2120.答案7梳理梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_交换律ab_分配律a(bc)_abac(ab)ba8(3)空间向量的夹角AOB范围：a，b .特别地：当a，b 时，ab.0，9知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab ；若反向，则ab . 特别地，aa 或|a|若为a，b的夹角，则cos _|ab|a|b|a|2ab0|a|b|a|b|10题型探究11类型一空间向量的数量积运算命题角度命题角度1空间向量的数量积基本运算空间向量的数量积基本运算例例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.p2q2(pq)2；解答此命题不正确.p2q2|p|2|q|2，而(pq)2(|p|q|cosp，q)2|p|2|q|2cos2p，q，当且仅当pq时，p2q2(pq)2.12|pq|pq|p2q2|；解答此命题不正确.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直.解答此命题正确.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0，且a与(ab)c(ac)b均为非零向量，a与(ab)c(ac)b垂直.13(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求：ab；解答ab|a|b|cosa，b，ab34cos 1206.(3a2b)(a2b).解答(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2，(3a2b)(a2b)39434( )41627246461.14(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.反思与感悟15 跟跟踪踪训训练练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913，|a3b| .答案解析16则|a|c|2，|b|4，abbcca0.命题角度命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例例2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：解答17解答解答18两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.反思与感悟19跟踪训练跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：解答20解答21类型二利用数量积求夹角或模命题角度命题角度1利用数量积求夹角利用数量积求夹角例例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.解答22反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法25因为PO，且l，所以lPO，跟跟踪踪训训练练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA.求证：lPA.证明26命题角度命题角度2利用数量积求模利用数量积求模(或距离或距离)例例4如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.解答27利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.反思与感悟29跟跟踪踪训训练练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离.解答30类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.例例5如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明31反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.32跟跟踪踪训训练练5已知向量a，b满足：|a|2，|b| ，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.45答案解析a与2ba垂直，a(2ba)0，即2ab|a|20.2|a|b|cosa，b|a|20，又a，b0，180，a与b的夹角为45.33当堂训练342233445511|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于A.14 B. C.4 D.2答案解析35选项C，由长方体的性质可得AB平面ADD1A1，2233445511答案解析2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是362233445511易知正确；3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：其中真命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.0答案解析372233445511答案解析3822334455115.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.1222122(12cos 120021cos 120)2，答案解析39规律与方法1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算.(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入ab|a|b|cosa，b求解.40。