实数集的完备性的基本定理闭区间上连续函数性质的证明.doc

第七章 实数的完备性1 关于实数集完备性的基本定理(一) 教学目的：理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思路．(二) 教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(三) 基本要求：(1) 掌握和运用区间套定理、致密性定理．(2)掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和 致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理． ——————————————————————————————一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ） 对, 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ） . 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .区间套还可表达为: .我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,递减.例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是.区间套定理Th7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对有. 简言之, 区间套必有唯一公共点.二 聚点定理与有限覆盖定理定义 设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集 =有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间 .Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.三 实数完备性基本订立的等价性证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th 4 数列收敛 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间 , 取 , 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：Th 4 数列收敛 是Cauchy列.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.“Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:2 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )(一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．(三)基本要求：1）理解闭区间上连续函数性质的证明思路和证明方法.掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．2)掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．(四) 教学建议： (1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题． ————————————————————————一. 有界性:命题1 , 在上.证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 .令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证 , ( 为此证明且 ). 取> 且. 由在点连续和, , . 于是. 由在点连续和, . 因此只能有.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P229—230 [ 证法一 ] 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P229—230 [ 证法二 ] 习题课 （ 4 时 ）一． 实数基本定理互证举例：例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间 内含有数列的无穷多项, 而在 外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 . 设 , .易见有 和. 由，.例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚点, 则对, 存在开区间 , 使在内仅有的有限个点. …… .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设为有界无限点集. 构造数集 中大于的点有无穷多个.易见数集非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对,由不是的上界, 中大于的点有无穷多个; 由是的上界, 中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .二. 实数基本定理应用举例：例5 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )设集合 . 则, 不空 ; ,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设 , 则 .下证 .ⅰ） 若, 有; 又, 得. 由递增和, 有, 可见. 由, . 于是 , 只能有.ⅱ） 若, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列, ↘,. 由递增, 以及, 就有式 对任何 成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为 . 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间 . 依此构造区间套, 对,有 . 由区间套定理, , 使对任何,有. 现证. 事实上, 注意到时↗和↘以及递增,就有.令, 得于是有.例6 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程 在区间 内有实根 . 证 构造区间套,使 .由区间套定理,, 使对, 有. 现证 . 事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗和↘,, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有 , , . 为方程在区间 内的实根.例7 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对, 有. 当然有 . 但对 有 而, . 矛盾 . （注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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