复合材料力学课件第06章_层合平板的弯曲屈曲和振动.ppt

第六章 层合平板的弯曲、 屈曲与振动 回总目录回总目录6.2 层合平板的层合平板的弯曲弯曲6.1 引言引言6.3 层合平板的层合平板的屈曲屈曲6.4 层合平板的层合平板的振动振动6.5 层合板中耦合影响的简单讨论层合板中耦合影响的简单讨论本章研究的层合平板是各种复合材料层合板中最简单又应用最广泛的一种，其限制是：a)a) 每层单层板是正交各向异性的，但材料每层单层板是正交各向异性的，但材料主方向不一定与层合板坐标轴一致；材主方向不一定与层合板坐标轴一致；材料是线弹性的，且层合板是等厚度的料是线弹性的，且层合板是等厚度的b)b) 板的厚度与其长度和宽度相比很小，即板的厚度与其长度和宽度相比很小，即为薄板c)c) 不考虑体积力不考虑体积力6.1 引 言d) 与层合板理论的假设相同，对于薄层合板有下列基体假设： (1) 即近似为平面应力状态，只考虑 和 (2) 采用直法线假设，横向剪应变 以及 近似为零,即固有的中面法线不变形这与 有矛盾，但通常忽略不计 以及 是 的线性函数3) 位移 和 与板厚相比较很小，应变 与1相比很小,且略去转动惯量 这些假设表明：讨论的是小应变和小挠度问题；另外假设限于正交各向异性材料，只分析经典层合板理论而不考虑层间应力和横向剪切影响。

6.2 层合平板的弯曲问题是在横向载荷 作用下求解合板的挠度、变形和应力图图6-1 6-1 层合平板的几何尺寸层合平板的几何尺寸图图6-2 6-2 作用于板上的力和力偶作用于板上的力和力偶一、平衡方程一、平衡方程层合板的合力和合力矩与中应变与曲率有下列关系式中有从层合板中取一元素其上作用合力和合力矩，如图6-3,从层合板中取一板元素图图6-3 6-3 板元素受力图板元素受力图不计体积力，用合力和合力矩表示的平衡方程为x方向平衡y方向平衡z方向平衡绕y轴力矩平衡绕x轴力矩平衡由上式后三式综合得将第四章的刚度矩阵和(6.1)代入(6.2)和(6.3)可得到用 表示的平衡方程上述三个方程是相互耦合的,必须联立求解引进下列算子 其中算子 和 含有系数 ，反映拉伸、弯曲的耦合效应； 分别反映拉伸、剪切耦合和弯曲、扭转耦合这时平衡方程式(6.4),(6.5),(6.6)可简单表示为 当层合板对称于中面时， 则式(6.4)、式(6.5)与式(6.6)相互独立，由式(6.6)得出对称层合板弯曲的平衡方程为用式(6.7)表示，则为 与 的方程相互独立，可分别求解 式(6.9)表示，它与均匀材料各向异性板的方程形式一样，只是在 时有所不同。

如果是特殊正交各向异性层合板，由于，平衡方程简化为 此式与正交各向异性均匀材料板方程形式一样平衡方程为 如果各层均为各向同性材料，但每层材料不一定相同，则这与各向同性板方程形式完全一样二、边界条件二、边界条件 非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件8种可能类型的简支和固支边界条件一般分类如下：1. 简支边界条件(用s表示) 式中符号意义见图6-4，n,t分别表示法线和切线2. 固支边界条件(用c表示) 矩形板的4边，每边可用上述8种边界条件的任一种表示，因此可能范围很大，如果再考虑自由边界条件，则每边有12种可能的边界条件，这里只讨论四边简支的矩形层合板图图6-4 6-4 边界条件符号意义边界条件符号意义三、简支层合板的弯曲三、简支层合板的弯曲 考虑一四边简支并承受分布横向载荷作用的矩形层合板，如果6-5所示：图图6-5 6-5 四边简支矩形层合板四边简支矩形层合板 用双三角级数解，将横向载荷 展开为： 一般来说 ，为任意正整数， 可由下式求出 对于均布载荷 ，可得出下面分别讨论几个特殊层合板情况的解1. 特殊正交各向异性层合板 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于 又 既不存在拉-弯耦合，也不存在拉剪和弯扭耦合，板的挠度 只由下面的平衡方程描述 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于 简支边界条件为由于 在微分方程中不出现，故边界条件很简单。

设挠度 为满足上述边界条件，将此式代入方程 可得代入式 可得 的精确解，对于均布载荷 有解代入式 可得 的精确解，对于均布载荷 有解由 可求应变和应力，注意式 中只用表示层合板的刚度2. 对称角铺设层合板 层合板对称， 这类层合板 不为零，其基本方程为(6.8)边界条件为 由于 存在，挠度 的表达式不能象 那样用双三角级数展开， 否则 和 将出现正弦和余弦奇次函数，变量不能分离，此外挠度展开式也不能满足边界条件，因此只能用近似解法瑞利-利茨法(Rayleigh-Ritz) 应变能将第四章刚度表达式第二式代入上式外力所做的功为层合板总势能为仍选取(6.14)的表达式，它满足位移边界条件，即但不满足力的边界条件，即这时可用最小势能原理，将 表达式代入 表达式，由最小势能原理 如果选取 则由上式得到49个线性代数方程，可解得49个未知量 对于受均布载荷作用的方板对于受均布载荷作用的方板(a=b), (a=b), 当当和和其精确解其精确解层合板最大挠度为层合板最大挠度为时，时， 得到得到如果忽略如果忽略 和和 , ,即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为3. 反对称正交铺设层合板 反对称正交铺设层合板的拉伸刚度有反对称正交铺设层合板的拉伸刚度有弯曲、拉伸耦合刚度有弯曲、拉伸耦合刚度有弯曲刚弯曲刚度有度有。

与特殊正交各向异性层合板与特殊正交各向异性层合板的特殊正交各向异性层合板，最最大挠度为的特殊正交各向异性层合板，最最大挠度为和和 相比，出现相比，出现 ，因此平衡方程是联立的，即，因此平衡方程是联立的，即选择选择S S2 2简支边界条件简支边界条件选取下列位移函数选取下列位移函数它满足平衡方程它满足平衡方程(6.19)(6.19)和边界条件和边界条件(9.20)(9.20)，所以是精，所以是精确解如果横向载荷确解如果横向载荷q q取双三角级数第一项，即取双三角级数第一项，即4. 反对称角铺设层合板这种层合板，这种层合板，拉弯耦合拉弯耦合有有基本微分方程为基本微分方程为选取式边界条件选取式边界条件S S3 3它们满足平衡方程和边界条件，因此是精确解它们满足平衡方程和边界条件，因此是精确解取位移函数如下取位移函数如下 总之，求得位移函数后通过几何方程和物理方总之，求得位移函数后通过几何方程和物理方程可进一步确定各应变和应力分量，在计算应力程可进一步确定各应变和应力分量，在计算应力时，按各层刚度情况逐层进行计算时，按各层刚度情况逐层进行计算6.3 层合平板的屈曲 层合薄板的屈曲是指在平面内层合薄板的屈曲是指在平面内压缩压缩和和剪切剪切载荷载荷 作用下，当载荷增加到一定值时产生有作用下，当载荷增加到一定值时产生有 横向挠度的另一种平衡状态，此时属于不稳定平衡横向挠度的另一种平衡状态，此时属于不稳定平衡状态，通常称板发生屈曲，相应于产生屈曲的载荷状态，通常称板发生屈曲，相应于产生屈曲的载荷值称为值称为临界载荷临界载荷。

理论上讲，板的屈曲形式和临界理论上讲，板的屈曲形式和临界载荷值有无穷多个，但实际应用只需求得其中最小载荷值有无穷多个，但实际应用只需求得其中最小的一个临界载荷值，并称为的一个临界载荷值，并称为屈曲载荷屈曲载荷一、屈曲方程和边界条件一、屈曲方程和边界条件 假设屈曲以前是薄膜应力状态，不考虑拉弯假设屈曲以前是薄膜应力状态，不考虑拉弯耦合影响，当薄板受平面载荷时，由薄膜状态进耦合影响，当薄板受平面载荷时，由薄膜状态进入屈曲状态，控制微分方程为入屈曲状态，控制微分方程为 式中式中 表示从屈曲前的平衡状态开始的变分，表示从屈曲前的平衡状态开始的变分， 依次是力和力矩的变分，依次是力和力矩的变分， 为位移的为位移的变分 其中合力和合力矩的变分与应变变分的关系其中合力和合力矩的变分与应变变分的关系仍用式仍用式 用位移表示的屈曲方程与弯曲方程相似用位移表示的屈曲方程与弯曲方程相似( (除用除用变分符号外变分符号外) )，但二者有本质不同，但二者有本质不同，弯曲问题数学弯曲问题数学上属边界值问题，而屈曲问题属求特征值问题上属边界值问题，而屈曲问题属求特征值问题其本质是求引起屈曲的最小载荷，而屈曲后的变其本质是求引起屈曲的最小载荷，而屈曲后的变形大小是不确定的。

形大小是不确定的 屈曲问题的所有边界条件都是其齐次的，即屈曲问题的所有边界条件都是其齐次的，即皆为零，这样边界条件为皆为零，这样边界条件为简支简支固支固支6.3.2. 在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲 考虑沿着考虑沿着 方向作用均匀平面力方向作用均匀平面力 的四边简的四边简支矩形层合板如图所示，现分别讨论一下几种情支矩形层合板如图所示，现分别讨论一下几种情况图图6-6 6-6 均布单向平面压力下简支矩形层合板均布单向平面压力下简支矩形层合板1. 特殊正交各向异性层合板 这种层合板没有拉弯耦合、拉剪耦合和弯扭这种层合板没有拉弯耦合、拉剪耦合和弯扭耦合，即耦合，即 ， 对对于板的屈曲载荷问题，只有一个屈曲方程来描述于板的屈曲载荷问题，只有一个屈曲方程来描述边界条件为四边简支边界条件为四边简支上述四阶微分方程和相应其次边界条件的解与前上述四阶微分方程和相应其次边界条件的解与前面弯曲问题的一样，可选取面弯曲问题的一样，可选取它满足边界条件，式中它满足边界条件，式中 和和 分别是分别是 和和 方向方向屈曲半波数，将屈曲半波数，将(6.27)(6.27)代入代入(6.26)(6.26)，得到，得到显然当显然当 时，时， 有最小值，所以临界屈曲载有最小值，所以临界屈曲载荷为荷为不同不同 下的下的 最小值并不明显，它随不同刚最小值并不明显，它随不同刚度和板的长宽比度和板的长宽比 而变化。

而变化2. 对称角铺设层合板 此时此时 ，屈曲方程为，屈曲方程为边界条件为边界条件为与讨论弯曲问题时类似，由于存在与讨论弯曲问题时类似，由于存在 不能得不能得到封闭解，可得到一类似瑞利到封闭解，可得到一类似瑞利- -里茨解，取里茨解，取此式只满足位移的边界条件，不满足力的边界此式只满足位移的边界条件，不满足力的边界条件，因而其结果是缓慢地收敛到真实解条件，因而其结果是缓慢地收敛到真实解3. 反对称正交铺设层合板 由于存在拉弯耦合，由于存在拉弯耦合， 屈曲方程式联立的屈曲方程式联立的, ,即即取取S S2 2简支边界条件为简支边界条件为选取选取满足全部边界条件，将满足全部边界条件，将(6.32)(6.32)代入代入(6.30)(6.30)得到精确解得到精确解为为其中其中注意，若注意，若 则则 若若 则方程则方程(6.33)(6.33)化成特殊正交各向异性层合板的解式化成特殊正交各向异性层合板的解式(6.28)(6.28) 式式(6.33)(6.33)是是 的复杂函数，因此必须从包括的复杂函数，因此必须从包括全部全部 和和 值的研究过程值的研究过程( (即即 求出式求出式(6.33)(6.33)表示的最小屈曲载荷，而不表示的最小屈曲载荷，而不是由是由 对于对于 和和 的一阶偏导数等于零的方法的一阶偏导数等于零的方法求得。

求得6.4 层合平板的振动 对于板的振动问题，主要是求解板的固有频率对于板的振动问题，主要是求解板的固有频率和振型，这里限于讨论和振型，这里限于讨论自由振动自由振动，与屈曲问题类似，与屈曲问题类似，板的个固有频率理论上有无穷多个，其中最低的，板的个固有频率理论上有无穷多个，其中最低的频率称为板的基频，与屈曲问题不同的是工程上除频率称为板的基频，与屈曲问题不同的是工程上除基频外，有时也需要求出其他更高阶的频。