圆环形电流磁场分布圆环形电流的磁场散布福建省石狮市石光中学 陈龙法纲要 本文详尽计算出圆环形电流的磁场散布（包含磁标势、磁感觉强度） ，证了然圆电流平面上圆内的磁感觉强度为r的单一增函数，且在圆心处磁感觉强度有极小值设圆环形电流强度为I，圆半径为R0，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，成立球坐标系用半径为R0的球面把整个空间分红两个地区，在这两个地区内，磁场的标势分别知足拉普拉斯方程20（rR0）m1m2因为拥有轴对称性，磁标势与方向角φ没关，因此知足界限条件r(rθφ)r0有限，r有限m1m2的通解可取为：m1anrnPncos（rR0）⑵n1nnrr=R0的球面上，m1和m2知足边值关系：erm2m1ffe⑶er?m2m10⑷解上列⑴⑵⑶⑷式得：anR0n1dPncosbndPncosf⑸ndnR0n2dn1bnPncosnanR0n1Pncos0⑹nR0n1n此中，面电流密度开：I，I是圆环中的电流强度可按连带勒让德函数展f2R022fnPncos2n1n1!Pncos⑺nn2n1!1又PncosdPncos，P2k00，P2k101k2k1!dk!222k于是⑸⑹式可化为：anR0n1bnPncosInanR0n1PncosnR0n2R0nn1bnPncosnanR0n1Pncos0nR0n2n于是获得系数an和bn知足的方程：n1bnI2n1⑻anR0R0n2R02nnPn01bnnanR02n10⑼n1解⑻⑼式，当n=2k时，有：b2ka2kR4k100b2k2ka2kR04k102k1这是对于a2k和b2k的齐次方程组，其系数队列式1 R04k12kR04k102k1因此方程组只有零解，即a2kb2k0⑽当n=2k+1时，有：2kb2k1k1I4k32k!a2k1R0R02k31R02k222k1k!2b2k12k1a2k1R04k302k2解得：a2k11k1I2k!⑾R02k1k!222k12b2k11kIR02k22k12k!⑿2k222k1k!2由⑽⑾⑿及⑴⑵式，获得球内外的磁标势：m11k1I2k!r2k1P2k1cos（rR0）⒁m2k02k2k!222k1r2k21于是球内外的磁感觉强度为：I2k!r2kdP2k1cosB1k2k1P2k1cos0m101R0k!222k1R0erekd（rR0）⒃依据⒂⒃式，当时，利用2P2k100，dP2k1cos1k2k1!d(cos)(k!)222k便获得圆电流平面上圆内和圆外的磁感觉强度为：0Ir2kB1r2R0kakR0e（rR0)⒅2R0rk此中ak2k1!22k1!22k124kk!4，k2k224kk!4从⒄式知，dB1r0，故圆电流平面上圆内的磁感觉强度B1r为r的单一增函数。
当r=0时，drB1r为极小，有B100I，这正是用毕奥—萨伐尔定律求出的圆电流中心的磁感觉强度2R（2001/10/22）3。
