行列式习题精选.doc

行列式习题精选一、判断下列各项是否为五阶行列式的项？（包括符号）（1）-a21a34a15a23a52解：由于其中的元a21 ， a23在同一行，故不是五阶行列式的项2）+a32a15a24a53a41解：将其重新排列为+a15a24a32a41a53容易看出其中的五个元都不同行，也都不同列可取j1=5 , j2=4 , j3=2 , j4=1 , j5=3其逆序数N（54213）=8Sgn((-1)N（54213）)=sgn(1)=1故符号为正即+a15a24a32a41a53是五阶行列式的项二、确定行列式的项1、确定下列行列式的项前面所带的符号（1）a31a12a23a44解：将其重新排列为a12a23a31a44 可取j1=2 , j2=3 , j3=1 , j4=4 其逆序数为N（2314）=2 ， （-1）2=1 故符号为正（2）a31a23a14a42a65a56解：将其重新排列为a31a42a23a14a65a56可取i1=3 , i2=4 , i3=2 , i4=1 , i5=6 , i6=5其逆序数为N（342165）=6 ， （-1）2=1故符号为正2、写出四阶行列式中含因子a23且带负号的项。

解：四阶行列式中的项为是数字1、2、3、4的组合含因子 时，令则可能的组合有：1324，1342，2314，2341，4312，4321其中奇排列为：1324，2341，4312则含因子且带负号的项为：3、已知排列的反序数，求 的反序数对于排列中的数字，设排列中有个小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的有个，则位于其左的有个则对于任意 n 个不相等的自然数，其中最大的数字有 n-1 个小于它的，次大的数字有 n-2 个小于它的，…… 因此，三、按定义计算下列行列式1） 00..0n 00..n-10 ..02... ..010..0.00解：式中,非零元有:a1n=1 , a2(n-1)=2 ,……, an1=n故可有 j1=n , j2=n-1 , …… , jn=1其排列的逆序数N(n,(n-1),(n-2),…,1)= n(n-1)2，排列只有这一种情况故原式 =(-1)n(n-1)2 12……n=(-1)n(n-1)2n！（2）00.10.02.....0n.00.00... 00..00 00..n-10解：将原式变为100020003....00.00.00... 000.n-10 000.0n要经过n-1次变换，即00.10.02.....0n.00.00... 00..00 00..n-10=（-1）n-1100020003....00.00.00... 000.n-10 000.0n在100020003....00.00.00... 000.n-10 000.0n中，非零元有a11=1 , a22=2 , ……., ann=n故可有j1=1 , j2=2 , j3=3 , …… , jn=n其排列的逆序数N（12….n）=0 排列只有这一种情况故原式=（-1）n-1（-1）0 12……n=（-1）n-1n！（3）a00b00gce0df000h 解：式中非零元有：a11=a , a14=b , a22=c , a23=d , a32=e , a33=f , a41=g , a44=h故可有：j1=1 , 4 ; j2=2 , 3 ; j3=2 , 3 ; j4=1 , 4有以下四种排列的逆序数为：N1(1234)=0N2(1324)=1 , N3(4231)=5 , N4(4321)=3故原式=j1j2j3j4Sgnj1j2j3j4a1j1a2j2a3j3a4j4 =（-1）0acfh —（-1）1adeh — （-1）5bcfg — （-1）3bdeg = acfh — adeh — bcfg — bdeg（4）a00xa00x00 0xa00 00xa0 000xa解：式中的非零元有 a11=a22=a33=a44a55=a , a12=a23=a34=a45=a51=x故可取j1=1 ， 2 ； j2=2 ，3 ； j3=3 ， 4 ； j4=4 ， 5 ；j5=1 ， 5其排列只有两种：N1(12345)=0，N2(23451)=4故原式=(-1)0a11a22a33a44a55+(-1)4 a12a23a34a45a51=a5+x5四、利用行列式的性质计算下列行列式。

1）abbdac-cdbfcf aeed-ef解：可从式中，第一行提取出a , 第二行提取出d ，第三行提取出f , 第一列提取出 b, 第二列提取出c ，第三列提取出 e故原式变为abcdef111-111 11-1=4abcdef（2）11112314 14918271664解：由行列式转置后值不变，可将原式变为1111222123 133214423343此为范德蒙德行列式，其值为（4-3）（4-2）（4-1）（3-2）（3-1）（2-1）=12即原式的值为12（3）sin2αsin2βcos2αcos2βsin2γcos2γ cos⁡（2α）cos⁡（2β）cos⁡（γ）解：原式可变为sin2αsin2βcos2αcos2βsin2γcos2γ 2cos2α-12cos2β-12cos2γ-1将第二列乘以-2 ，加到第三列，得sin2αsin2βcos2αcos2βsin2γcos2γ -1-1-1，再将第一列加到第二列，得sin2αsin2β11sin2γ1 -1-1-1 由于第二列和第三列成比例，故值为0又由于通过变换后，值不会发生改变，得原式的值为0(4)2-23-262014 14-517-4273-2解：将第一行换到最后一行，对换了3次，故符号变为负号。

再经过初等变换有2-23-262014 14-517-4273-2= -100-4-6120-18 318-2-21380 =-100-4-6000 3110-2-2956= -100-4-6000 3110-2-2901.5=-1（-6）101.5 = 90（5）a111a1..1..1 11a...111..1.....1 111..an解：将第二列，第三列，……，第n列全部加到第一列后，提取公因式，再将第一行乘以-1加到第二行，第二行，……，第n行即a111a1..1..1 11a...111..1.....1 111..an=a+n-1a+(n-1)a+(n-1)1a1..a+(n-1)..1 11a...111..1.....1 111..an=(a+n-1)1111a1..1..1 11a...111..1.....1 111..an= (a+n-1)1001a-10..0..0 10a-1...100..0.....0 100..a-1n= (a+n-1)(a-1)n-1(6)101042-500-46 11-18002-13-3-67700-1-17解：由于第四列只有一个非零元，先按第四列展开得到101042-500-46 11-18002-13-3-67700-1-17=2（-1）3+410042-406 11-17-13-3-17-17再按第一列展开，上式=2（-1）3+4（-1）1+12-4-1767 -3-1-17= -220-1500 -3-76 = -120（7）a00ba0.0b.00 0ba...000.00....a0 000.ba解：将其按第一列展开得a00ba0.0b.00 0ba...000.00....a0 000.ba=aa00ba0.00.00 0ba...000.00....a0 000.ba(n-1)(n-1)+b(-1)n+1ba00ba.00.00 00b...000.00....ba 000.0b(n-1)(n-1)=aan-1 + b(-1)n+1bn-1=an + (-1)n+1bn五、求行列式的代数余子式。

1012-1001 1010 4131解：按第一列展开的代数余子式为A11=(-1)1+1-100100 131=-2A12=(-1)1+2010100 131=0A13=(-1)1+301-1001 131=2A14=(-1)1+401-1001 010=0六、运用拉普拉斯定理计算下列行列式1）5100651000 0651006501 00065解:将式子按第一,二行展开,不为零的子式有A1=5615=19 , 对应的代数余子式为M1=(-1)1+2+(1+2)516501 065=65A2=5016=30 , 对应的代数余子式为M2=(-1)1+2+(1+3)106501 065= -19A3=6056=30 ，对应的代数余子式为M3=(-1)1+2+(2+3)006501 065=0原式=A1M1 + A2M2+ A3M3 = 1965 — 3019 +0=665（2）123-113101-2-3416 1416000010001111124 000139解：将此式子按一，二，三行展开得不为零的子式为A=1213310 1416 = -1对应的代数余子式为M=（-1）1+2+3+（1+2+3）111214 139 = 2原式=AM= -2（3）a0y0c00w b0x0d00z解：将其按第一，二行展开得不为零的子式A1=a00c=ac , A2=a00d=ad , A3=0bc0 = -bc ,A4=b00d=bd ,对应的代数余子式为M1=(-1)1+2+(1+2)x00z = xz , M2=(-1)1+2+(1+4)0xw0= -xwM3=(-1)1+2+(2+3)y00z=yz , M4=(-1)1+2+(3+4)y00w=yw故原式=A1M1 + A2M2 + A3M3 + A4M4 =acxz – adxw – bcyz + bdyw =(ax-by)(cz-dw)(4) D2n=a000a0..b..0 00a...0b0..0...0a0 b0000a2n解：将其按第一，二行展开得到不为零的子式为A1=a00a = a2 , A2=0bb0 = -b2其代数余子式都是M=（-1）1+2+（1+2）D2n-2=a000a0..b..0 00a...0b0..0...0a0 b00。