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MATHEMATICA实习二 导数实习目的1． 进一步理解导数与微分的概念2． 学习Mathematica的求导命令和求导法则，掌握求导数、偏导数和高阶导数的方法3． 深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法实习准备1.求导命令D与求微分命令Dt.D[f,x]给出f关于x的导数，而将表达式中f中的其他变量看作常量因此，如果f是多元函数，则给出f关于x的偏导数D[f,{x,n}]给出f关于x的n阶导数或者偏导数D[f,x,y,z…]给出f关于x,y,z…的混合偏导数Dt[f,x]给出f关于x的全导数，将表达式f中的其他变量都看作x的函数Dt[f]给出f的微分如果f是多元函数，则给出f的全微分即使表达式是抽象函数，上述命令也可以给出相应正确的结果，当然是一些抽象符号命令D的选项NonConstants->{…}指出{…}内的字母是x的函数命令Dt的选项Constants->{…}指出{…}内的字母是常数2．解方程或方程组的命令Solve解方程命令的格式为Solve[f[x]==0,x]解方程组命令的格式为Solve[{f[x,y]==0,g[x,y]==0},{x,y}]执行命令后给出方程或方程组关于指定变量的解。

方程中的等号要用双等号“==”如果是方程组，要用大括号将所有的方程括起来，各方程之间用逗号隔开3.循环语句Do循环语句Do的基本形式为Do[表达式，循环变量的范围]表达式中一般有循环变量，有多种方法说明循环变量的取值范围最完整的形式为Do[表达式，{循环变量名，最小值，最大值，增量}]当省略增量时，默认增量为1省略最小值时，默认最小值为1例如输入Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}]则在屏幕上显示Sin[x] Sin[2 x] Sin[3 x] Sin[4 x] Sin[5 x] Sin[6 x] Sin[7 x] Sin[8 x] Sin[9 x] Sin[10 x]实习内容与步骤1. 求函数的一阶导数输入D[x^n,x]在不指明的情况下求导数的过程中，已经将n看作了常数输出为2．求函数f(x)=sin axcos bx的一阶导数并求输入diff[x_]=D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]则得到f(x)的一阶导数再输入diff[1/(a+b)]则得到f在点的导数如果输入D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]/.x->1/(a+b)则直接得到函数在该点的导数。

3．假设，求输入Clear[x,y,z]z=Cos[Sqrt[x^2+y^2]];zx=D[z,x]zy=D[z,y]zxy=D[z,x,y]zxx=D[z,{x,2}]输出为 4． 求函数的一阶到十一阶导数输入：Clear[f];f[x_]=x^10+2(x-10)^9;D[f[x],{x,2}]则得到函数的二阶导数类似的可以求3阶，4阶导数等等，为了将1阶到11阶导数一次性都求出来，输入Do[Print[D[f[x],{x,n}]],{n,1,11}]输出为： 725760+3628800 x 3628800 05． 求函数f(x)=sin axcos bx的微分输入：Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants->{a,b}]//Simplify其中选项Constants->{a,b}指出a,b是常数，Simplify后缀函数是将前面的结果进行化简输出为：Dt[x,Constants®{a,b}] (a Cos[a x] Cos[b x]-b Sin[a x] Sin[b x]输出中的Dt[x,Constants®{a,b}]就是自变量的微分dx。

如果输入：Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x]]则实际上是将a,b看成变量，得到的是三元函数的全微分：Cos[a x] Cos[b x] (x Dt[a]+a Dt[x])+(-x Dt[b]-b Dt[x]) Sin[a x] Sin[b x]6． 设，求和全微分dz输入：Clear[z];z=(1+x*y)^y;D[z,x]D[z,y]则有输出： 再输入：Dt[z]则得到输出：其中Dt[x]和Dt[y]分别表示dx和dy.7． 方程确定的隐函数的导数输入：D[2x^2-2x*y[x]+y^2+x+2y+1==0,x]这里输入y[x]以表示y是x的函数输出为对原方程两边求导数后的方程： 再解方程，输入：可以得到结果另外一种方法是使用微分命令输入：Dt[2x^2-2x*y+y^2+x+2y+1==0,x]得到导数满足的方程，输出为：1+4 x-2 y+2 Dt[y,x]-2 x Dt[y,x]+2 y Dt[y,x]Š0再解方程，输入：Solve[%,Dt[y,x]]输出结果：注 前一种方法用的是表示的导数，而后一种方法用的是Dt[y,x]表示的导数两种方法也说明了命令D和Dt的区别，D求导默认其他的变量相对于求导的变量都是常量，如果不是需要将其他变量改造为要求导的变量的函数，而Dt默认命令中出现的一切字母都是变量。

如果是求二阶导数那么用第一种方法，如下输入：输出：表明对原来方程两边求一阶导数输入：输出：对原来的方程两端求了二阶导数输入：输出：解上述两个方程，得到y对x的一二阶导数8.假设方程确定了函数z=z(x,y)，求本题当然也可以采用上题的两种方法（直接求导法，微分法），当然求一阶导数（偏导数）也可以采用隐函数求导法（根据隐函数存在定理）输入：Clear[x,y,z]f=x+2y+z-2Sqrt[x*y*z]fx=D[f,x];fy=D[f,y];fz=D[f,z];zx=-fx/fzzy=-fy/fz输出为： 9.验证拉哥朗日中值定理对函数在区间〔1，2〕上成立即满足存在使.输入：Clear[f];f[x_]:=1/x^4;Solve[D[f[x],x]==f[2]-f[1],x]//N输出中有5个解：其中实数解就是满足拉格朗日中值定理的，约为1.3366510.求由参数方程确定的函数的导数输入：Clear[x,y,t];g=D[Exp[t]*Sin[t],t]/D[Exp[t]*Cos[t],t]则输出y对x的一阶导数：再输入：D[g,t]/D[Exp[t]*Cos[t],t]//Simplify则得到y对x的二阶导数11．设，求。

输入：rq1=D[x==E^u+u*Sin[v],x,NonConstants->{u,v}]对方程组的第一个方程两边对x求导数，把u,v看成x,y的函数输出：输入：rq2=D[y==E^u-u*Cos[v],x,NonConstants->{u,v}]对方程组的第二个方程两边对x求导数，把u,v看成x,y的函数输入：Solve[{rq1,rq2},{D[u,x,NonConstants®{u,v}],D[v,x,NonConstants®{u,v}]}]//Simplify把u,v对x的偏导数当作未知量，解求导以后由rq1,rq2组成的方程组得到输出：其中D[u,x,NonConstants®{u,v}]表示u对x的偏导数，D[v,x,NonConstants®{u,v}]表示v对x的偏导数类似的可以求得u,v对y的偏导数（留作练习）实习作业1． 验证罗尔定理对函数在区间上的正确性2． 求下列函数的导数与微分（1）（2）（3）3． 求下列函数的高阶导数（1）,求（2），求4． 求下列方程（组）所确定的函数的导数和二阶导数1）（2）（3）（4）5． 求下列函数的偏导数1）（2），求6． 设z=f(x,y)由方程 所确定，求。