2020年福建省莆田六中、高一（下）期中数学试卷解析版（B卷）.pdf

第 1 页 共 15 页 期中数学试卷 期中数学试卷 B 卷 卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 cos300 A B C D 2 一个钟表的分针长为 10 经过 35 分钟 分针扫过图形的面积是 A B C D 3 已知 则 sin 的值为 A B C D 4 如图 在 ABC 中 若 则 的值为 A 3B 3C 2D 2 5 已知平面向量 在下列命题中 存在唯一的实数 R 使得 为单位向量 且 则 2 与 共线 与 共线 则 与 共线 若 且 0 则 正确命题的序号是 A B C D 6 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示 它是由 4 个相 同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形 若直 角三角形中较小的锐角为 大正方形的面积是 1 小正方形 的面积是 则 sin2 cos2 的值等于 A 1B C D 第 2 页 共 15 页 7 使函数是偶函数 且在上是减函数的 的 一个值是 A B C D 8 设 则有 A a b cB b c aC a c bD a b c 9 已知 AB 是圆 O 的一条弦 AB 2 则的值为 A 2B 1 C 2D 与圆 O 的半径有关 10 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 角 0 的始 边为 x 轴的非负半轴 终边与单位圆的交点为 A 将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 至 OB 过点 B 作 x 轴的垂 线 垂足为 Q 记线段 BQ 的长为 y 则函数 y f 的图象大致是 A B C D 11 如图 在平面四边形 ABCD 中 AB BC AD CD BAD 120 AB AD 1 若点 E 为边 CD 上的动点 则的最小值为 第 3 页 共 15 页 A B C D 3 12 函数 f x 若方程 f x a 恰有三个不同的解 记为 x1 x2 x3 则 x1 x2 x3的取值范围是 A B C D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知向量 3 1 2k 1 k 则 k 14 已知 则 tanx 15 2的化简结果是 16 如图 在 OAB 中 C 为 OA 上的一点 且 是 BC 的中点 过点 A 的 直线 l OD P 是直线 l 上的任意点 若 则 1 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知向量 与 不共线 且 1 4 1 若 与 的夹角为 120 求 2 第 4 页 共 15 页 2 若向量 k 与 k 互相垂直 求 k 的值 18 已知函数 f x 2sinx sinx cosx 1 求函数 f x 的最大值以及取得最大值时 x 的集合 2 若函数 f x 的递减区间 19 求下列各式的值 1 求的值 2 已知 0 且 求 2 的值 20 已知 2cosx 1 函数 f x 1 求 f x 在区间上的最大值和最小值 2 若函数 y f x 在区间上是单调递增函数 求正数 的取值范围 21 如图 某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ABCD 的池底水平铺设污水净化 管道 Rt FHE H 是直角顶点 来处理污水 管道越长 污水净化效果越好 设 计要求管道的接口 H 是 AB 的中点 E F 分别落段 BC AD 上 已知 AB 20 米 AD 10米 记 BHE 第 5 页 共 15 页 1 试将污水净化管道的长度 L 表示为 的函数 并写出定义域 2 问 当 取何值时 污水净化效果最好 并求出此时管道的长度 22 如图是函数 f x Asin x A 0 0 的部分图象 求函数 f x 的表达式 若函数 f x 满足方程 f x a 0 a 1 求在 0 2 内的所有实数根之和 把函数 y f x 的图象的周期扩大为原来的两 倍 然后向右平移 个单位 再把纵坐标伸长为原来 的两倍 最后向上平移一个单位得到函数 y g x 的图象 若对任意的 0 m 3 方 程 g kx m 在区间 0 上至多有一个解 求正数 k 的取值范围 第 6 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 故选 C 利用三角函数的诱导公式 将 300 角的三角函数化成锐角三角函数求值 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 2 答案 B 解析 分析 此题主要是考查圆面积的计算 关键是明白 35 分钟分针尖端所扫过的面积是圆面积的 几分之几 钟面上 12 个数字把钟面平均分成 12 份 每份所对应的圆心角是 360 12 30 即每两 个相邻数字间的夹角是 30 即指针从一个数字走到下一个数字时 绕中心轴旋转了 30 分针经过 35 分钟 走过了 7 个数字 即绕中心轴旋转了 30 7 210 此题分针的尖 端所走扫过的面积是半径为 10 厘米的圆面积的 解答 解 由钟面的特点可知 钟面上每两个相邻数字间的夹角是 30 即指针从一个数字走 到下一个数字时 绕中心轴旋转了 30 该题中分针经过 35 分钟 走过了 7 个数字 即 绕中心轴旋转了 30 7 210 可得 分针扫过的面积 102 100 平方厘米 答 这根分针的尖端所扫过的面积是平方厘米 故选 B 3 答案 C 解析 解 由 得 sin sin sin sin 故选 C 由已知利用两角和的正弦求得 sin 再利用三角函数的诱导公式求 sin 的值 本题考查三角函数的化简求值 考查两角和的正弦 是基础题 4 答案 B 解析 分析 本题考查了平面向量基本定理的应用问题 解题时应根据向量的加法与减法运算将向量 进行分解 是基础题 第 7 页 共 15 页 根据平面向量的基本定理 结合向量加法与减法的三角形法则 进行化简运算即可 解答 解 又 3 故选 B 5 答案 D 解析 解 存在唯一的实数 R 使得 反例如果 则 不存 在 所以 不正确 为单位向量 且 则 正确 2 满足向量的运算法则 正确 与 共线 与 共线 则 与 共线 如果 则 与 不一定共线 所以 不正确 若 且 0 则 因为向量的数量积与向量的长度 结果向量的夹角有关 所以 不正确 故选 D 利用向量的共线以及向量的模 向量的数量积的运算 判断命题的真假即可 本题考查向量的基本知识的应用 命题的真假的判断 是基础题 6 答案 B 解析 解 依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为 cos 短直角边为 sin 小正方形的边长为 cos sin 第 8 页 共 15 页 小正方形的面积是 cos sin 2 又 为直角三角形中较小的锐角 cos sin cos sin 又 cos sin 2 1 2sin cos 2cos sin 1 2sin cos 即 cos sin 2 cos sin sin2 cos2 cos sin sin cos 故选 B 求出每个直角三角形的长直角边 短直角边的长 推出小正方形的边长 先利用小正方 形的面积求得 cos sin 2的值 判断出 cos sin 求得 cos sin 的值 然后求得 2cos sin 利用配方法求得 cos sin 2的进而求得 cos sin 利用平方差公式把 sin2 cos2 展开后 把 cos sin 和 cos sin 的值代入即可求得答案 本题主要考查了三角函数的化简求值 同角三角函数的基本关系 考查了学生综合分析 推理和基本的运算能力 7 答案 B 解析 解 函数 2sin 2x 是偶函数 k 即 k k Z 故可取 此时 f x 2sin 2x cos2x 且在上 2x 0 f x 是减函数 故选 B 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式 再利用三角函数的奇偶性 单调性 求得 的一个值 本题主要考查两角和的正弦公式 三角函数的奇偶性 单调性 属于基础题 8 答案 B 解析 解 a cos6 sin6 sin30 cos6 cos30 sin6 sin36 b c 0 34 35 36 90 第 9 页 共 15 页 sin36 sin35 sin34 即 b c a 故选 B 由三角函数恒等变换化简可得 a sin36 b sin34 c sin35 根据角的范围和正弦函数 的单调性即可比较大小 本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用 正弦函数的单调性 属于基础题 9 答案 C 解析 解 取 AB 的中点 M 连 OM 则 OM AB 2 2 cos OAM 2 2 2 2 故选 C 取 AB 的中点 M 连 OM 则 OM AB 然后利用向量数量积的性质运算可得 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算 属基础题 10 答案 B 解析 解 以 x 轴的非负半轴为始边 OA 为终边的角设为 0 可得 A cos sin 将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 至 OB 可得 B cos sin 即 B sin cos 记线段 BQ 的长为 y 则函数 y f cos 故选 B 以 x 轴的非负半轴为始边 OA 为终边的角设为 0 可得 B cos sin 即 B sin cos 记线段 BQ 的长为 y 则函数 y f cos 本题考查了三角函数定义的应用 考查转化思想以及计算能力 属于基础题 11 答案 A 解析 分析 本题考查了向量在几何中的应用 考 查了运算能力和数形结合的能力 属 于中档题 如图所示 以 D 为原点 以 DA 所在 的直线为 x 轴 以 DC 所在的直线为 y 轴 求出 A B C 的坐标 根据向量的 数量积和二次函数的性质即可求出 解答 解 如图所示 以 D 为原点 以 DA 所在的直线为 x 轴 以 DC 所在的直线为 y 轴 过点 B 做 BN x 轴 过点 B 做 BM y 轴 第 10 页 共 15 页 AB BC AD CD BAD 120 AB AD 1 AN ABcos60 BN ABsin60 DN 1 BM CM MBtan30 DC DM MC A 1 0 B C 0 设 E 0 m 1 m m 0 m m2 m m 2 m 2 当 m 时 取得最小值为 故选 A 12 答案 D 解析 解 作出函数 f x 的图象如图 不妨设 x1 x2 x3 则 1 x1 0 x1 x2 x3的取值范围是 1 故选 D 作出函数 f x 的图象 不妨设 x1 x2 x3 求出 x1 的范围 数形结合可得 x1 x2 x3的 取值范围 本题考查函数的零点与方程根的关系 考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方 法 是中档题 13 答案 1 第 11 页 共 15 页 解析 解 根据题意 向量 3 1 2k 1 k 若 则 3k 2k 1 0 解可得 k 1 故答案为 1 根据题意 由向量平行的坐标表示方法可得若 则 3k 2k 1 0 解可得 k 的值 即可得答案 本题考查向量平行的坐标表示 注意向量的坐标定义 属于基础题 14 答案 2 解析 解 依题意 tanx 2 故答案为 2 运用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得 进而求得 tanx 本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系的运用 属于基础题 15 答案 2sin4 解析 解 4 cos4 0 sin4 cos4 0 则原式 2 2 cos4 2 sin4 cos4 2cos4 2cos4 2sin4 2sin4 故答案为 2sin4 原式第一项被开方数利用二倍角的余弦函数公式化简 第二项被开方数利用同角三角函 数间的基本关系及完全平方公式化简 再利用二次根式的化简公式计算即可得到结果 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用 熟练掌握基本关系是解本题的关键 16 答案 解析 解 D 是 BC 的中点 直线 l OD 存在实数 k 使 k 因此 k k 由已知 得 根据平面向量基本定理 得 1且 2 因此 1 2 第 12 页 共 15 页 故答案为 根据 OD 是 OBC 的中线 得 由直线 l OD 可得存在实数 k 使 k 再 化简得到 结合已知等式可得 1且 2 由此即可算 出则 1 2的值 本题在 OAB 中 给出边的三等分点 C 和 OBC 的中线 OD 。