专题21数列与不等式结合的问题（解析版）.docx
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专题21 数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一 不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．例1、(2019镇江期末）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64.数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)2n＋1＋2.(1) 分别求数列{an}与{bn}的通项公式．(2) 若不等式λ…<对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．(3) 已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由． 规范解答 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a1＝2，a2a4＝a1qa1q3＝64，解得q＝2，则an＝2n.(1分)当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1；(2分)当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)2n＋1＋2 ①，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)2n＋2 ②，①－②得anbn＝n2n，则bn＝n.综上，bn＝n.(4分)(2) 不等式λ…<对一切正整数n都成立，即λ…<恒成立．因为…>0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分)当λ>0时，不等式等价于…<.设f(n)＝…，则＝＝＝<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以>f(n)max＝f(1)＝，故λ<，则0<λ<.综上，λ<.(8分)例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aa.(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；(2) ①求证：数列{an}为等比数列；②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．规范解答 (1)因为(a1a2)2＝aa3，所以a＝a1a3，因此a1，a2，a3成等比数列．(2分)设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，即4＝1＋3，于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或，所以＝1或.(4分)(2)①因为(a1a2…an)2＝aa，所以(a1a2…anan＋1)2＝aa，两式相除得a＝a1，即a＝a1a，(*)(6分)由(*)，得a＝a1a，(**)(*)(**)两式相除得＝，即a＝aa，所以a＝an＋1an＋3，即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，(8分)由(1)知a＝a1a3，所以a＝anan＋2，n∈N*，因此数列{an}为等比数列．(10分)②当0
与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）例4、已知数列的前项和为，， 设，数列的前项和为，证明： < .证明：由（1）得： 可知当时， 例5、设数列的各项均为正数，它的前项和为，点在函数的图像上；数列满足，其中．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求证：数列的前项和．【解析】（Ⅰ）由已知条件得， ①当时，， ②①—②得：，即，∵数列的各项均为正数，∴（），又，∴；∵，∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，，两式相减得：，∴．题型三、运用放缩法证明数列中的不等式在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向） 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。
从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；常见的放缩：；例6：已知正项数列的前项和为，且（1）求证：数列是等差数列（2）记数列，证明：解：（1） 为等差数列思路分析：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩解：令代入可得：即由为等差数列可得： 考虑先证 时时，再证综上所述： 例7：已知数列的前项和，且（1）求（2）求数列的前项和（3）设数列的前项和，且满足，求证：解：（1）在中，令可得：（2） ① ②① ②可得： 是公差为6的等差数列（3）由（2）可得： 二、达标训练1、设数列各项为正数，且，若，数列的前项和为，则使成立时的最小值为 .【答案】：6【解析】，，则.不等式即为，所以，于是成立时的最小值为6.…………………………12分2、在数列中，，，设， 设，且数列的前项和，若，则使恒成立的的取值范围 .【答案】：.【解析】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，，所以，，所以，又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.证法二：由条件，得 又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为：.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，①②由①-②得，∴∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立.∵，∴.3、(2019宿迁期末）已知数列{an}各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项的和，对任意的n∈N*，都有2Sn＝3a＋an－2.数列{bn}各项都是正整数，b1＝1，b2＝4，且数列ab1，ab2，ab3，…，abn是等比数列．(1) 证明：数列{an}是等差数列；(2) 求数列{bn}的通项公式bn；(3)求满足<的最小正整数n.规范解答 (1)当n＝1时，2a1＝3a＋a1－2，即3a－a1－2＝0，(3a1＋2)(a1－1)＝0，由a1>0得a1＝1.(1分)当n≥2时，由2Sn＝3a＋an－2得2Sn－1＝3a＋an－1－2，所以两式相减得2an＝3a＋an－3a－an－1，所以3(an－an－1)(an＋an－1)＝an＋an－1.(3分)由an>0知an＋an－1>0，所以an－an－1＝，所以数列{an}是首项a1＝1，公差d＝的等差数列. (5分)(2)由(1)得an＝1＋(n－1)＝n＋， 由ab1＝a1。
