2017-2018版高中数学第二章解三角形1.2余弦定理(二)学案北师大版必修.doc

1.2　余弦定理(二)学习目标　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　已知两边及其中一边的对角解三角形思考　在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sin C＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？　梳理　已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sin B＝.(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当ab，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二　判定三角形的形状思考1　三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考2　△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？梳理　判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理　证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异．类型一　利用余弦定理解已知两边及一边对　　　　角的三角形引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.例1　已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.　反思与感悟　相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练1　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)A．1 B．2C.－1 D.类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．　反思与感悟　证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.类型三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．　反思与感悟　(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．跟踪训练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．　1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(　　)A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？　1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．答案精析问题导学知识点一思考　能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．知识点二思考1　不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考2　∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.知识点三思考　由余弦定理得a＝b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.题型探究例1　解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.引申探究解　由正弦定理，得＝＝＝＝，∴sin A＝＝，∴cos A＝±＝± ＝±.∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝·±·，∴sin C＝或sin C＝.当sin C＝时，c＝·sin C＝5；当sin C＝时，c＝·sin C＝3.跟踪训练1　B例2　证明　方法一　(1)由正弦定理，得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.即a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.方法二　(1)由余弦定理，得cos B＝，cos C＝，∴bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；(3)c＝acos B＋bcos A.跟踪训练2　证明　方法一　左边＝＝，右边＝＝，∴等式成立．方法二　右边＝＝＝＝＝左边，∴等式成立．例3　解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.∵0